FOCALES DES COUKBES PLANES ET GAUCHES. 75 



1° Une courbe est tangente à sa développée en les points de 

 contact de ses tangentes isotropes. 



2°. Les foyers de la courbe sont des foyers de la développée. 

 {Laurent: Traité d'Analyse, II p. 108). 



Réciproquement, les foyers de la développée sont des foyers de 

 la courbe, car, si une tangente à la projection a' passe par le 

 point /, il faut (pie les deux droites /, dont cette tangente est la 

 projection, passent également par le point /, et les droites / pas- 

 sant par le point / sont des droites /„,, tangentes à la courbe <J, 

 qui coïncident avec leurs projections. 



Un point stationnaire je de la courbe d étant un noeud H de 

 la courbe a (§ 54), ce point est un point de la projection a'. Les 

 deux branches de la courbe a, passant par le point k, se projet- 

 tent en une seule branche de la courbe a'; donc: un point station- 

 naire k de la courbe d est un point ordinaire de sa développée. 



Les singularités de la courbe a étant connues (§ 66), on en déduit 

 celles de sa projection a'. Le centre de projection Z n'étant pas 

 situé sur la courbe a, le degré fx' de la projection a' est égal à 

 | n, d'où /x' = - 1 X 2 (3 fx + /) = 3 /x + t. 



Le point Z n'étant pas situé sur la développable 0, chaque 

 droite passant par le point Z rencontre r = 2 (jx + v) tangentes à 

 la courbe a, qui se projettent deux à deux en fi -\- v tangentes à 

 la projection a' ; d'où v' = fi -\- v. 



On obtient une inflexion de la projection a si par le point Z 

 il passe un plan oscillateur o ou si la courbe a possède une tan- 

 gente stationnaire v; m étant 2 v il ne passe par le point Z que 

 les 2 v plans o, qui sont oscillateurs en les 2 v points S w . et v = 0. 

 (§ 02), donc; i' = 0. 



Les points station naires /3 de la courbe a se projettent deux à 

 deux en des points stationnaires x! de la courbe a, exceptés les 

 2 v points stationnaires S w , qui sont situés sur la courbe d , donc: 



x = -i {/3 — % v \=^\\% i L — 4V-L-6* — 2v] = 6 p — 3 v -\- 



+ 8 J= 3(8/a + i) — 3 (/* + »). 

 Par conséquent, les singularités de la développée plane sont: 



jj! = 3 [x + t,v' = At + v , i' = , k' = 8 (3 yu + /) — 3 (/«, + v). 

 {Salmon-Fiedler: Ebene curven p. 122). 



Les 2 fi points stationnaires (2 de la courbe a, qui sont situés 

 sur la conique c 2 (les points -5"), se projettent en /x points station- 

 naires de la développée. Ces /x points ont la droite de l'infini z 

 pour tangente commune. Les 2 / points a de l'arête de rebrousse- 

 ment a, qui se trouvent sur la conique c 9 se projettent en les t 



