70 FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES. 



points d'intersection restants de la droite de l'infini avec la développée. 



Le cilindre promettant de la courbe a est l'enveloppe des plans 



normaux de la courbe cl ou bien est la surface polaire de la courbe cl. 



§ 69. Des développées gauches. Chaque droite / est une droite 

 isotrope, si la conique c 2 est le cercle imaginaire de l'infini, et, 

 par conséquent, est perpendiculaire au plan isotrope o, passant par 

 elle. Donc, chaque droite / coupe orthogonalement la tangente à 

 la courbe cl située dans le même plan o. Par conséquent, la courbe 

 a est une développée gauche de la courbe cl, ce qui démontre 

 encore une fois que sa projection orthogonale a', est la développée 

 plane de la courbe cl. 



La longueur de la droite /, comptée de son point de contact 

 avec la courbe a jusqu' à son point de rencontre avec la courbe 

 cl étant nulle, puisque cette distance est le rayon d'une sphère de 

 rayon nul, les distances de deux points quelconques E et E' de 

 la développée a à sa développante cl sont égales, d'où il suit que 

 la longueur de l'arc de la courbe a, compris entre ces deux points 

 quelconques E et E' , est nulle , ou bien la courbe a est une courbe 

 de longueur nulle (Darbot/x: Classe rem. p. 10). 



Si au lieu de prendre pour la conique c 2 le cercle imaginaire 

 de l'infini, on prend pour la conique c 2 une conique située dans 

 le plan de l'infini et tangente au cercle imaginaire de l'infini en 

 les points / et J, chaque droite / sera perpendiculaire à la tan- 

 gente à la courbe cl en le point où la droite l rencontre la courbe 

 cl, donc, pour ce choix de la conique c 2 , l'arête de rebroussement 

 a est une développée gauche de la courbe cl. Et inversement chaque 

 développée gauche de la courbe cl est en choisissant convenable- 

 ment la conique c 2 , l'arête de rebroussement d'une développable 

 O. En déterminant les singularités de la courbe a (§ 62), j'ai donc 

 déterminé les singularités de toutes les développées gauches de la 

 courbe cl. Les points d'intersection d'une développée gauche a de 

 la courbe cl avec le plan W de la courbe cl, sont les 2 v points 

 S w , où les tangentes isotropes touchent la courbe cl et les y. points 

 stationnaires de la courbe cl. Les points S w sont des points station 

 naires de la développée a et les points y. en sont des noeuds, (§ 63;. 



§ 70. Des courbes parc// Zèles. Les droites /, rencontrant une 

 même conique c 2 bitangente au cercle imaginaire de l'infini, font 

 toutes des angles égaux avec la direction du point Z, donc coupent 

 aussi toutes sous un même angle le plan W normal à la direction 

 du point Z. Par conséquent, le plan //' et un plan // ", parallèle 



