FOCALES DES COURBES FLANES ET GAUCHES. 77 



au plan IV interceptent sur tontes les droites / des segmenta de 

 munie Longueur, et la courbe de section de la développable O par 

 le plan //" est une courbe parallèle de la courbe d. Donc, les 

 singularités d'une courbe parallèle d'une courbe d sont celles d'une 

 section plane de la surface 0; (voir, Salmon-Fiedler; Ebene Curven). 



Si la courbe d possède une focale plane f x , située dans un plan 

 W x , la courbe p x , l'intersection de la surface O avec un plan 

 parallèle au plan W\ sera une courbe parallèle de la courbe ƒ.. 

 Les courbes parallèles des courbes d et f x auront les mêmes sin- 

 gularités. Ces courbes parallèles peuvent encore différer par la nature 

 de leurs points à l'infini. 



Exemple. Nous verrons plus tard qu'une cubique circulaire de 

 la troisième classe d, dont le point réel à l'infini A, est un point 

 d'inflexion, possède une focale plane f du quatrième degré et de 

 la troisième classe, dont les points 1 et J sont des points station- 

 nants (voir P. II. Schoute: Comptes Rendus (i \){>c 1897). Les 

 courbes parallèles de ces deux courbes auront les mêmes singula- 

 rités Plückériennes. Les points a l'infini de la courbe parallèle de 

 la courbe d sont les points I et J, qui sont des points triples el 

 le point A qui est un noeud (inflexions knoten), tandis que les 

 points à l'infini de la courbe p x sont deux points quadruples, coïn- 

 cidant avec les points circulaires du plan W x . 



Soient d et c 2 des courbes réelles, alors la surface O sera réelle 

 également et chaque section s par un plan quelconque sera une 

 courbe réelle. Si maintenant on remplace la conique e., par le cercle 

 imaginaire de l'infini la courbe s restant réelle, la surface O devient 

 la développable focale (Darbousc: Classe rem.) de la courbe s. La courbe 

 primitive (/ et sa focale ƒ feront partie de la focale de la courbe s. 



On voit facilement, que la figure symétrique de la développable 

 O par rapport au plan W est une seconde développable focale 0' 

 de la courbe s, de sorte que la focale de la courbe s consiste, 1° 

 en la courbe d et sa figure symétrique, 2° en la courbe /' et sa 

 figure symétrique, 3° en la courbe d'intersection des deux déve- 

 loppables et 0' , autre que la courbe s elle même. 



La réciprocité entre la courbe s et sa focale (§ 5) n'existe plus 

 que pour la partie de la focale nommée sub 3°. 



En appliquant ces résultats à une courbe parallèle/; d'une courbe 

 d, dont la focale est une courbe /', on trouve, (pie la focale de 

 la courbe p consiste, 1° en deux courbes d situées en des plans 

 parallèles au plan de la courbe p, 2° en deux courbes /', 3° en 

 une cinquième courbe pour laquelle le plan de la courbe p est un 

 plan de symétrie. 



