78 FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES. 



On démontre facilement les théorèmes suivants. 



1° Une développée gauche d'une courbe parallèle p se décompose 

 toujours en deux courbes dont l'une est la figure symétrique de 

 l'autre par rapport au plan de la courbe p. 



2° La courbe parallèle de la courbe parallèle p se décompose 

 toujours en deux courbes parallèles de la courbe d. 



3° Si la développable focale d'une courbe plane d se décompose, 

 cequi ne peut être qu'en deux figures symétriques, les développées 

 gauches et les courbes parallèles de la courbe d se décomposent 

 également, et réciproquement. 



4° De chaque courbe simple tracée sur la développable focale 

 0, la développable focale et la focale se décomposent. De cette 

 focale font partie la courbe d et sa focale. 



§ 71. Du lieu des centres des cercles bitangents et du Heu des 

 points pour lesquels deux tangentes sont égales. Nous avons vu au 

 § 8 que la projection orthogonale de la focale sur le plan de la 

 courbe d est le lieu des centres des cercles bitangents. 



Les singularités de la focale étant connues (§ GO) on en déduit 

 comme aux §§ 47, 53 et 57 celles de sa projection/". On trouve 

 alors que les singularités du lieu ƒ' des centres des cercles bitan- 

 gents sont: 



ft' — ^ n = ft 2 ~\- 2 ftv — 5 ft -{- t. 



v' = 4- (r — v 2 ) = 2 ftv — 2 ft — 2 v. 



2 = 1 ■(/[— *) = -J£ = (8/* + 0(3/* f v) — 30//+ I2v--Hi. 

 £ = -i (in- - 3 v 2 — k) = 3 ft {ft -\- v — 7) + i (2 /a -)- v — ] 4) + 

 + 6 i/ — 3 t. 



Soit comme au §8 T* 7 un point de la focale, soit la conique c'a 

 un cercle bitangent à la. courbe d correspondant au point F, et 

 soient R x et R 2 les points de contact. 



La tangente /; à la focale en le point F rencontre le plan W 

 dans un point L, où se rencontrent les tangentes à la courbe d 

 en les points B« et y^ 2 (§ 8). Les deux droites Lll { et A/i'., sont 

 en môme temps des tangentes au cercle c' 2 et, par conséquent, sont 

 •'•gales, cequi donne le théorème: 



La courbe nodal e s de la développable K (§§ 44, 48), située 

 dans le plan W est le lieu des points pour lesquels deux des tan- 

 gentes, que l'on peut mener à la courbe d sont égales entre elles. 



Les singularités de la développable K, étant connues (§00)), on 

 en déduit, comme aux §§ 48 et 58, celles de la courbe d'inter- 



