FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES. 79 



section «y. On trouve alors, que les singularités du lieu s, des 

 points pour lesquels deux tangentes à la courbe absout égales, sont: 



ix" = J- (r — x.) = 2 fiv — 3 fi -f~ t -\- t. 



v' = -i w = 3 /x (/x -(- 1/ — 6) -{- 1 (2 /a -|- v - - 9) -f - 6 v. 



7 = 2 7([i — 2) -f 2 <î. 



_T = J (« — v 2 ) = 3 (2 p -f 1) (2 fi -f y) - - 2 /x 2 — py - - 5 5 /x -j- 



-f- 22 y— 33/ — 3 t. 



Les tangentes à la courbe d en les points y. font encore partie 

 du lieu. 



Si la focale consiste en une ou plusieurs courbes planes le lieu 

 s consiste en une ou plusieurs droites. 



§ 72. Bu point Z comme centre de la développable 0. Nous 

 avons vu aux §§ 8 et 10 que le point Z et le plan If sont con- 

 jugués harmoniques par rapport aux couples de points conjugués 

 de la focale ƒ et de l'arête de rebroussera ent a. Si donc on prend 

 pour le plan de l'infini le plan W, le point Z sera un centre de 

 symétrie des courbes /', a, c„ et /; et des développables O et A'. 



Corollaires. 



1° Si la focale est de degré impair elle passe par le point Z, 

 et réciproquement. 



2° Si la focale est une courbe plane ou consiste en une courbe 

 plane et quelques courbes gauches, le plan de la partie plane de 

 la focale passe par le point Z, et le point Z devient un centre 

 de symétrie de cette partie plane et de la partie gauche si le plan 

 W devient le plan de l'infini. 



3° Si plusieurs courbes planes font partie de la focale, lesplans 

 de ces focales planes passent par le point Z ou ces focales planes 

 sont situées deux à deux dans des plans parallèles si on prend le 

 plan W pour le plan de l'infini. 



4° Si la courbe d possède une focale plane ƒ', dont le plan // " 

 passe par le point Z, la courbe d sera une courbe à centre, en 

 prenant pour droite de l'infini du plan //', son intersection avec 

 le plan W' , le centre de la courbe d étant le pôle Z' de l'inter- 

 section des plans W' et V, par rapport à la conique c\>. Si le 

 plan W' devient le plan de l'infini, le point Z' devient aussi le 

 centre de la conique c 2 . 



5°. Si la courbe d est une conique à centre d 2 , la développable 

 O possède quatre coniques nodales (§$ 22 — 25). Si le plan d'une 

 de ces quatres coniques nodales devient le plan de l'infini, les 



