18 LA. DÉPENDANCE OU L'INDÉPENDANCE. 



s'annulent. Les équations terminales : 



4 xy — 12 x -f- 6 f — 8 y — 30 = , 

 4 a? 2 -f 6 xy -f 6 et- — G y - - - 10 = , 



(42*), 



(43*), 



peuvent se décomposer en facteurs, comme suit: 



2(y -3)(2«-|-3y-|-5) = 0, ) 

 2(*--l)(2«-f8y + 5) = 0, j"" 



d'où l'on trouve 1 œ ~\- 3 y -|— 5 pour le plus grand commun divi- 

 seur des premiers membres des équations données (34 *). 



11 est clair que les facteurs obtenus par la méthode d'élimination 

 employée, appartiennent au même domaine de rationalité où se 

 rapportent les coefficients des fonctions qui forment les premiers 

 membres des équations données 1 ). 



§ 15. S'il arrive que tous les déterminants de rassemblant (41) 

 s'annulent, les équations (34) sont liées par la relation linéaire: 



#! qp — « 1 ^ = (45) , 



et toutes les solutions de l'une des équations (34) satisfont alors 

 à l'autre. 



III. Formes quaternaires. 



§ 16. La voie à suivre dans ce cas ne s'écarte pas de celle 

 que nous avons suivie dans les paragraphes précédents. 



Le cas où l'on a deux équations non-homogènes à trois variables 

 se traite de la même manière que le cas de deux équations non- 

 homogènes à deux variables. La considération de ce cas mettra en 

 évidence que deux équations ne sont dépendantes que, si leurs 

 premiers membres ont un commun facteur. 



Les cas où l'on a trois ou quatre équations non-homogènes à 

 trois variables nous mènent à des considérations plus compliquées. 



Après ce qui précède, il suffira de donner des exemples d'équa- 

 tions linéaires. 



') Comparer: Kronecker, Festschrift (Journal de Crelle, tome 92) et .1. Molk, Acta 

 Mathematica, tome 6, 



