LA DEPENDANCE OU I/INDKPENDANCE. 



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sont certainement dépendantes, car on a la relation 



— /;, qp - (i x -l z a^b 2 fl o fj \ 



niais les équations: 



a v v -f- a 2 = , | 

 b t x -\- b 2 = , 



(56), 



(57) 



sont seulement dépendantes, si leur résultant, c-à-d fi { /j 2 — "-J\, 

 s'annule. 



Réciproquement, il peut arriver (pie quelques équations algé- 

 briques sont dépendantes, tandis (pie les fonctions qui formenl 

 leurs premiers membres sont indépendantes, p. e. les équations (28) 

 se trouveraient dans ce cas, si tons les déterminants de l'assem- 

 blant (30) s'annulaient, tandis que la forme 2 a 1 à 2 — « 2 b x ne s'an- 

 nule pas. 



§ 18. Si le nombre des fonctions que l'on considère, est d'une 

 unité supérieur à celui des variables qui y entrent, ces fonctions 

 sont continuellement liées par une relation dans laquelle les varia- 

 bles ne figurent pas explicitement. On obtient cette relation en 

 éliminant les variables entre les équations que l'on obtient en 

 égalant ces fonctions à des symboles distincts, comme nous avons 

 opéré dans les paragraphes 4 et 7. 



§ 11). Pour le cas où le nombre des fonctions est égal à celui 

 des variables qui y entrent, Jacobi a montré que le caractère 

 distinctif qui fait reconnaître si ces fonctions sont dépendantes, con- 

 siste en ce que leur déterminant fonctionnel s'annule identiquement ] ). 



Nous ne nous arrêterons pas à donner la démonstration de ce 

 théorème, laquelle est d'une notoriété très-grande. 11 suffira de 

 mentionner nu exemple. Les fonctions: 



<p 'h ' r ' 2 + a 2 ■>'// + «3 x + ( h f 4- «5 V + H > I 



sont dépendantes, si leur déterminant fonctionnel: 

 2 a x x -f a 2 y -f a B a 2 x -f- 2 a± y -f a 5 



(58), 



6. 



(59), 



') Voir: Jacobi, De determinantibus functionalibus (Journal de Crelle, tome 22), 



traduit en allemand dans Ostwald's Klassiker der exakten Wissenschaften, n°. 78. 



