LA DEPENDANCE OU L'INDÉPENDANCE. 23 



données, mais quelques déterminants de l'assemblant des coefficients 

 de ces équations s'annulent dans ce cas ! ). 



§ 22. Dans le cms où l'on considère un système de n équations 

 non-homogènes à n variables, ou rencontre parfois des solutions qui 



se rapportent au domaine de l'infini. 



En éliminant dans ce cas les variables, à l'une quelconque près, 

 on obtient une équation résultante dont le degré est inférieur au 

 produit des degrés des équations données. 



Les solutions que nous avons en vue, s'accordent avec celles du 

 système de n équations homogènes à n -j- 1 variables obtenu 

 du système des équations données en introduisant une nouvelle 

 variable, et où la variable introduite obtient la valeur zéro. 



§ 23. Pour qu'un système de n équations non-homogènes à n 

 variables admette des solutions infinies, il faut que le résultant des 

 n équations homogènes à n variables que l'on obtient en égalant à 

 zéro l'ensemble de leurs termes du degré le plus élevé, s'annule. 



Le plus grand nombre des solutions communes à ces équations 

 est g 2 g 3 - • • •//" ' s ^ ^ es équations données sont respectivement des 

 degrés g x , g 2 , g 3 ,....g n , où g^g 2 >ƒ»•■■• >$*• 



Comme l'équation finale de n équations non-homogènes à n 

 variables est, dans le cas général, nécessairement du degré g* g,, 

 g 3 . . . .g n , si son degré s'abaisse, il faut que quelques-unes de ces 

 racines soient infinies. 



Le plus grand nombre des solutions d'un système de n équations 

 non-homogènes à n variables appartenant au domaine de l'infini, 

 est, comme nous avons vu, g^g%- ■ ■ •//»• 



De là découle que le degré de l'équation finale ne peut s'abaisser 



qu'à (ft-—i)y 8 fl, — 9n- 



2 . Les solutions d'un système de n 



équations non-homogènes à n variables ayant 



u n éléinen t connu u n. 



§ 24. Il semble que le degré de l'équation finale s'abaisse 

 aussi dans le cas où le système d'équations données admet des 

 solutions ayant un élément commun. 



L'équation tinale par laquelle on évalue l'élément considéré doit 

 avoir des racines égales dans ce cas. 



Si l'on compose cette équation tinale en prenant pour ses coeffi- 

 cients les déterminants désignés de rassemblant dv^ coefficients 



') Comparer: Les systèmes de racines, § 30. 



