24 LA DEPENDANCE OU L'INDEPENDANCE. 



des équations données, fixant le produit des degrés des équa- 

 tions données pour le degré de la fonction F, sans avoir divisé ces 

 déterminants par leur plus grand commun diviseur, tous les coef- 

 ficients de cette équation doivent s'annuler 1 ). L'équation terminale 

 contenant dans un seul terme une deuxième variable, se réduit 

 dans ce cas à une équation à une variable dont le degré est d'une 

 unité inférieur au produit des degrés des équations données. Il 

 semble donc que le degré de l'équation finale s'abaisse d'une unité. 



Prenant dans la détermination de l'équation terminale considérée 

 le degré de la fonction F d'une unité inférieur au produit des 

 degrés des équations données, le coefficient du terme qui tombe 

 de l'équation terminale considérée, est, comme on sait, commun 

 facteur de tous les coefficients de l'équation finale 2 ). C'est l'évanou- 

 issement de ce commun facteur qui entraîne que tous les coeffi- 

 cients de l'équation finale se détruisent dans ce cas. 



En divisant les coefficients de l'équation finale par leur plus 

 grand commun facteur, ils ne s'annulent plus. L'équation finale 

 conserve son degré, mais elle admet au moins deux racines égales 

 dans ce cas. 



3. Combien de et quels déterminants d'un 



assemblant doivent s'annuler, pour que ce soit 



le cas avec tous les déterminants 



de cet assemblant. 



§ 25. Dans ce qui précède, le cas se présente plusieurs fois 

 que tous les déterminants d'un assemblant s'annulent. Reste à savoir 

 combien de et quels déterminants d'un assemblant doivent s'annu- 

 ler, pour que ce soit le cas avec tous les autres. 



Considérons en premier lieu le cas où l'assemblant proposé con- 

 tient q colonnes indépendantes et p lignes liées par p — q relations 

 linéaires indépendantes, où p^>q. 



En choisissant q — 1 lignes non liées entre elles par une relation 

 linéaire et ne contenant pas une ligne composée de zéros seuls, 

 ces lignes forment un déterminant avec chacune des autres lignes 

 de l'assemblant considéré. On obtient ainsi p — q -j- 1 détermi- 

 nants, liés par une relation linéaire. 



Si ces déterminants s'annulent, les autres déterminants de l'assem- 

 blant considéré s'annulent également. Cela se voit facilement en 



') Comparer: Les systèmes de racines, § 26. 

 ') Voir: Les systèmes de racines, ij •'!. 



