LEHRE VON DEN EBENEN CURVEN. 7 



tersucht worden von Herrn W. A. Versluts 1 ), nur hat sich (1er 

 Verfasser dort auf den Fall beschriinkt wo die gegebene Curve 

 keine spezielle Lage einnimmt, nnd also die ini § 1 genannten 

 Zahlen s nnd cr beide gleich null sind; diese Zahlen beeinflussen 

 aber unsere sâmtlichen Resnltate in sehr hoheni Grade, wir sind 

 also genötigt in aller Kiirze die charaktcristischcn Zahlen unscrer 

 Flâche unter Berücksichtiguüg dor Zahlen s und cr herzulciten. 



§ 3. Nehinen wir fiir einen Angenblick an es seien e nnd <r 

 gleich mill , so ist so fort einzuschen dass die Curve C cine Dop- 

 pelcurve, K<x> aber einc v-fachc Curve der Flâche ist. Denn irgend 

 cine Tangente von C schneidet g*, in eincin Punkte P , aus wel- 

 chein an K& zwei Tangenten gehen ; die Verbindungslinieii der 

 Berührungspunkte derselben mit demjenigen der znerst genannten 

 sind Erzeugenden (1er Flâche, nnd es gehen deren somit durcli 

 jeden Punkt von C zwei. 1st aber P der Schnittpnnkt von <]■» 

 mit einer Tangente von Km, so gehen (lurch denselben an Cv Tan- 

 genten , und es ist also jeder Punkt von Km (1er Schnittpnnkt von 

 v Erzeugenden. Hieraus ergibt sich dann weiter dass die Ordnungs- 

 /,; 1 1 1 1 der Flâche, also die Rangzahl /• ihrer Rückkehrkante , gleich 

 2 //, -j- 2 v ist; denn der vollstandige Querschnitt mit (1er Ebene 

 B besteht ans der Doppelcurve C nnd den zweimal v Tangenten 

 welche ans den Schnittpunkten von K«> mit B, also in unscrin 

 Falle ans den beiden Kreispunkten 7, , I 2 , an dieselbc gehen , jede 

 diese r- Tangenten nur einmal gezâhlt, weil die Schmiegungsebenen 

 dnrch dieselben cntweder die Tangente in I ls oder in Z ? an AT» 

 enthalten, und also in keinem Falle mit B zusammenfallen. 



Oder, indem man die Ebene B» zu lliilt'e nimmt, der Quer- 

 schnitt der Flâche mit dieser setzt sich zusammen ans der y-fachen 

 Curve Km , und den [â mal zwei Tangenten welche aus i\cn Schnitt- 

 punkten von g* mit 6' an jenen Kegelschnitt gclegt werden können, 

 jede derselben, aus dem namlichen Grunde wie oben, einmal ge- 

 ziihlt. 



Wenn aber die Curve C die Gerade y» in cinem Punkte li 

 beri'ihrt, so trennt sich die Ebene Ea> , doppelt gelcgt , von der 

 Flâche ab ; denn unter den Tangenten ans jedem Punkte P von 

 yoo an C findet sich immer die Gerade //* selbst, und es tritt also 

 jeder S trahi des Strahlenbüschels in /J x nnd am Scheitel II zwei- 

 mal als Erzeugende der Flâche auf, nâmlich fur die beiden Lagen 



a ) „Focales des courbes planes et gauches", Verli. Kon. Akad. Tome VIII, N°. 5. 



