8 ANWENDUNG DEE CYKLOGRAPHIE AUF DIE 



von P auf den Tangenten in den beiden Sclmittpunkten des be- 

 treffen den Strahles mit K&. 



Wenn also die Curve G die Gerade g* er mal berührt, so wird 

 die Zahl r urn 2 or Einheiten kleiner. 



Es soil die Curve durch I x hindurchgehen. Legen wir dann 

 in diesem Punkte die Tangenten an G und Kv> , so wird die Ver- 

 bind ungslinie der Berührungspunkte derselben innerlialb der durch 

 die beiden Tangenten bestimmten Ebene völlig unbestimmt, weil 

 man eben den Punkt I x mit sicli selbst verbinden muss, und es 

 trennt sich also diese Ebene von der Elache ab; und wenn man 

 bcobachtet dass sich die Zahl der von I x an G gehenden Tangenten 

 urn zwei verringert hat, und also der Schnittpnnkt irgend einer 

 in B liegenden Gerade mit der Tangente in I x selbst für zwei in 

 Wegfall konimende Punkte zahlt, so erkennt man dass die sich ab- 

 trennende Ebene doppelt in Redlining zu bringen ist. Geht also 

 un se re Curve final durch jeden der beiden Kreispunkte h in durch , 

 so wird dadurch die Ordnungszahl der Elache um 4 e Einheiten 

 verringert. Wir finden desshalb: 



'o' 



r = 2 fjt, -f- 2 v — 4 e — 2 <r. 



Wir prüfen dieses Résultat an den beiden einfachen Beispielen 

 des Kreises und der Parabel. Für den Kreis (//==!/ = 5, e = l, 

 <r = 0) rinden wir r = 4, was offenbar richtig ist, weil in diesem 

 Falie die Elache ans zwei zur Ebene B orthogonalsymmetrischcn 

 Rotationskegeln besteht; und für die Parabel (ju. == v — 2, e = 0, 

 <r = 1) finden wir r = 6 , was ebenfalls mit den Tatsachen im 

 Einklange ist. l ) 



Für die nach Wegfall der sich abtrennenden Ebenen übrig 

 bleibende „eigentliche" cyklographische Elache ist die Curve G 

 immer noch cine Doppelcurvc, und der vollstiindige Querschnitt mit 

 B setzt sich zusammen aus dieser Doppelcurve und den zweimal 

 v--2s- — o- Tangenten welche aus den Punkten I x , I 2 noch an 

 sic gehen; K*. hingegen ist eine (v - - ff^-fache Curve, deun aus 

 dem Schnittpunkte irgend einer Tangente von K*> mit g«> gehen 

 au G ausser g* noch v — <r Tangenten, durch den Berührungs- 

 punkt auf À» gehen also v - <r Erzeugenden , und der Quer- 

 schnitt der Plache mit JSa besteht aus diesem (v — <r)-fachen Kegel- 

 schnitt, den zweimal // — 2 e — 2 <r Tangenten an denselben aus 



') Man verirk'ir.he ■/,. 15. Fikih.kii „Darstellende Geometrie", II, Seite 379, N°. 2. 

 (3? A ullage). 



