14 ANWENDUNG DER CYKLOGRAPHIE AUF DIE 



venàste sich berühren,. was gegen die Voraussetzung geht. Es ware 

 allerdinffs denkbar dass sich unter den besonderen Erzeiu>enden der 

 Flàche, wie etwa denj enigen durch die cyklischen Punkte u. s. w. 

 solche berinden würden die zweimal in Reclmung zu bringen waren ; 

 allein in den vorhergehenden §§ haben wir ja dieselben alle unter- 

 suclit, oh ne dass sich die Erscheinung urn die es sich hier handelt 

 gezeigt hâtte. 



Was die Zahl D der wirklichen Doppelpunkte anbetrifft, so 

 fanden wir bereits (§ 4) dass jede Spitze von C ein Doppelpunkt 

 der Rückkehrkante ist, wahrend umgekehrt einleuchtet dass ein 

 Doppelpunkt der letzteren in B einen Punkt vom Krünmiungsradius 

 null in G bedingt. Liegt ein Doppelpunkt ausserhalb B, so muss 

 sein Bildkreis die Curve C an zwei verschiedenen Stellen osculieren , 

 was aber im allgemeinen nicht möglich ist. Demi das System der 

 Krümmungskreise bildet eine einfach unendliche Mannigfaltigkeit ; 

 es wird also im allgemeinen eine endliche Anzahl soldier Kreise 

 geben, welche die Curve noch anderwartig berühren, aber keinen 

 der sie zweimal osculiert. Es ist also : 



B = k = i -f 3 (JA — v). (§ 4). 



Insbesondere mag hervorgehoben werden dass die Rückkehrkante 

 nicht durch die Punkte I x , I 2 hindurcligeht. 



Endlich die Zabi A der Doppelschmiegungsebenen. Jede Dop- 

 peltangente von C gibt zu zwei solchen Ebenen Veranlassung, 

 welche symmetrisch in Bezug auf B liegen , und weil wir die 

 Anzahl der Doppeltangenten, (/ x nicht mitgerechnet , gieich r vor- 

 ausgesetzt haben, so ist die Anzahl der Ebenen 2 r. Uberdies ist 

 7ix (§ 3) eine 2 <r-fache Schmiegungsebene , oder also die Ver* 

 einigung von er {2 <r — 1) Doppelschmiegungsebenen, und endlich 

 haben wir noch die 2 e Ebenen zu berücksichtigen durch die Tan- 

 genten in J, und I 2 an K* und C (§ 3, am Schluss); es ist also : 



A = 2t^-o-(2<t — l)-\-2e 



oder, wenn wir den Wert von r aus der Plücker'scIich Formels 



ft = V (y — 1) — 2 T — ? {F — 1) — :U 



emsetzen : 



à = v {v l) — t L — 3iJ r 2e-\- er 2 . 



