LEHRE VON DEN EBENEN CURVEN. 1 5 



§ G. Aus den in den vorliergehenden Numinern verwendeten 

 Formeln ergeben sich drei Singularitâten nicht, deren Kenntniss 

 dennoch fiir uns von Wichtigkeit ist; es ist dies erstens die Zahl 

 derjenigen Erzeugenden der cyklographischen Flache welche die 

 Riickkehrkante , wic natiirlich, an einer Stelle berühren, imd iiber- 

 dies noch anderswo schneiden. Ks ist klar dass die Bildkreise dieser 

 Sclinittpunkte die Curve C osculieren und zugleich an einer andern 

 Stelle berühren. Für die Zahl y dieser Punkte haben wir die 

 Formel : 



y = r m -f 12 r — 14 m — 6n — 8û — 4d—4 /) ' ) ; 



durch Einsetzung der Werte rechts findet man: 



y = 4 j (// -f- v — 2 e — a-){t -\-3 fi — (Je — 3 <r -\- 6) — 8 t — 



24 ix + 42 e + 21 <r \ 



Fiir einen beliebigen Kegelschnitt (/a --= v — 2 , i = e = <r— 0), 

 und fiir die Parabel (fi = v = 2 , i = e = 0, <r = 1) findet man 

 y = 0, was offenbar richtig ist, weil ein Kreis einen Kegelschnitt 

 nicht dreipunktig und überdies noch zweipunktig berühren kann ; 

 für den Kreis aber (/a = v = 2, s = 1, t = <r = 0) findet man 

 y = 24, was natiirlich falsch ist; allein wenn man die Formel 

 nicht in obiger Gestalt , sondern in (1er von Pascal gegebenen 

 schreibt 1 ), so tritt die Grosse /3 darin auf, also die Zahl der Spitzen 

 der Riickkehrkante, und diese crgibt sich beim Kreise gleich - - 8 ; 

 es ist also die Formel auf den Kreis überhaupt nicht anwendbar. 



Zweitens haben wir zu betrachten die Zahl t der dreifachen 

 Punkte der Doppelcurve, also die Anzahl (1er Punkte deren Bild- 

 kreise die Curve C an drei verschiedenen Stellen zweipunktig be- 

 rühren ; wir finden dieselbe ans der Formel : 



t = * Ls _, g r 2 _ 58r —3r{n-\ r 3 m) + 42 n -\- 78 m j l ) , 



wo wir der Einfachheit halber, denn die Formel wird in den 

 griechisen Buchstaben sehr complicirt, die lateiiiischen stehen lassen. 

 Wir finden hier nicht uur für einen beliebigen Kegelschnitt oder 



x ) Salmon-Fiedler 1. c. S. Cti-2, oder in etwas andrer Form Pascal-Schepp „Reper- 

 torinm",II, S. 227 , oder Cremona Curtze, „Grundzüge einer allg. Th. d. Oberfiàchen". s. 87 



