LEHBE VON DEN EBENEN CUKVEN. ] 9 



gente durch einen der beide// Kreispunkte gekt", aber diese Punkte 

 sind fiir die Carve G keine Sclieitel. 



Wir fanden weiter (§ 4) dass jeder einfache Schnittpunkt dei- 

 Curve C mit g*, in den Berührimgspunkten der beiden von ihin 

 an /C» gehenden Tangenten Spitzen der Rückkehr curve bedingt, 

 deren Schniiegungsebenen sieli in der Tangente in ihin an C schnei- 

 den , und erkennen nnn überdies dass die Verbindungslinie dieser 

 beiden Spitzen als die Polare des betraehteten Punktes in Bezng 

 auf K x durch das Projektionscentrnni Z x geht. Es fallen also die 

 Projektionen der beiden Spitzen znsaninien in einen Pnnkt von 

 Çœ , der dein betraehteten Punkte harmonisch zugeordnet ist in 

 Bezug auf die beiden Kreispunkte , und dieser Punkt ist zwar eine 

 Spitze der Evolute (mit auf g«i liegender Rückkebrtangente) , fiilirt 

 aber, wie die jetzige Untersuchung gelelirt hat, nicht zu einem 

 Sclieitel von G 



Immerhin betonen wir im Vorübcrgehen den Satz: „jede/u ein- 

 fachen unendlich femen Punkte der Curve C' entspricht als Kriim- 

 mungsunUelpunkt eine unendlich feme Spitze der Evolute mit (//tu- 

 in unendlicher Feme gelegener Mückkehrtangente , und die beiden 

 eenander auf diese Weise zugeordneten Punkte beider Cu reen liegen 

 in zu eininder senkr echten Mich lengen." 



Wir wollen nun die Zahl /3 = 12 ^ - - 4 v -f- 6 1 — 24 e — 12 <r 

 der Spitzen der Rückkehrkante vermindern urn die Zahl 2 (v — 

 2 e — <r) derjenigen welche in B liegen und also nach dem Obigen 

 beini Projiciren verloren gehen; es bleiben dann noch 12 //. — v 

 -\- 6 i — 20 e — ■ 10 er übrig, und diese fallen beini Projiciren paar- 

 weise zusammen ; wir finden also : 



die Anzahl der liückkehrpunkte der Evolute = \x -- 3 v -- 3 i 

 — 10 s — 5 <r ; von dieseu liegen // — 2 e — 2 er i/u Unendlichen , 

 den Horigen 5 f/. — 3 v ~\- 3 1 -- 8 s — 3 <r aber entsprechen ebenso- 

 viele Scheitel der Curve C. 



Pür einen beliebigen Kegelschnitt erhalten wir hieraus / Spitzen 

 im Endlichen und 2 im Unendlichen, fur die Parabel resp. / und 

 , was offenbar richtig ist. 



Was nun die übrigen Schnittpunkte der Evolute mit g* anbe- 

 trifft , so ist folgendes zu bemerken: die Benihrungspunkte dei- 

 beiden Tangenten an K* ans dem unendlich fernen Punkte einer 

 Wendetangente der C sind nach § 4 einfache Punkte der Rück- 

 kehrkante, deren Verbindungslinie, wie wir jetzt wieder hinzufügen 

 wollen, durch Z*> geht ; jedem (1<t t Wendepunkte der C entspricht 

 also ein einfacher unendlich ferner Pan kt der Evolute, natiirlich in 

 einer Richt/mg senkrecht zur Wendetangente. Endlich ist h\ selbsl 



(i 2* 



