20 ANWENDUNG DEE CYKLOGEAPHIE AUE DIE 



Schmiegungsebene in den Berahrungspunkten sâmtlicher Tangenten 

 an iToo aus den <r Beriihrungspunkten von C mit g«> , welche Punkte 

 anch wieder, und immer aus dem niimlichen Grunde, paarweise 

 in Geraden dnrch Z«> liegen, und also durch die Projektion iiber- 

 gehen in <r Wendepunkte der Evolute mit unendlicli ferner Wende- 

 tangente; „jedem Beriihrungspunkte von C mit g x entspricht also in 

 der Evolute eine iinciuUicli fenœ Inflexion mit unendlich ferner 

 Taut/cute." 

 Addiren wir sâmtliche unendlicli fernen Punkte so erhalten wir: 



3 {ix — 2 e — 2r)-{-i-\-3<r=t-\-3tt — 6e — 3v', 



also wieder die Ordnungszahl der Evolute. 



Naclulem jetzt Ordnung , Klasse und Anzahl der llückkehrpunkte 

 der Evolute bekannt sind kann nunmehr die Anzahl der Doppel- 

 punkte aus der bekannten PLücKER'sclien Formel ermittelt werden. 

 Jeder derselben ist die Spur einer durch Z x gehcnden vierfachen 

 Sekante der Riickkehrkante , und also der geineinschaftliche Mittel- 

 punkt zweier verschiedener Krümmnngskreise ; nach Ausführung der 

 Rechnung erhalt man folgendes Résultat: 



die Anzahl der Dqppelpunkte der Evolute ist gleich 



\\{i -\- 3 fi -- 6 e — 3 t) (i -\- 3 /a — 6 e — 3 er — 1) - - 19 fi -f 



2\ 



8 v — 9 t -f 32 s -f 16 o- . 



Jeder dieser Punkte ist der Mittelpunkt zweier KrümmimgsJcreise. 



Soil die Evolute eine Inflexion aufweisen , so muss entweder die 

 Riickkehrkante eine stationâre Erzeugende besitzen , oder aber es 

 muss eine Schmiegungsebene durch Z*, geheii; das erstere ist nach 

 der Tabelle des § 6, S. 16 nicht der Fall, demi es ist 0=0, 

 und was das letztere anbetrifft, so sind die Schmiegungsebenen 

 (lurch Z x die 2 (v — 2 e — <r) Schmiegungsebenen durch die beiden 

 Tangenten in I x und A 2 an Yi* (sieh oben), die zweimal s Dop- 

 pelschmiegungsebenen durch die nàmlichen Tangenten und welche 

 G m den Krcispunkten sclbst beriUircn , und endlich die 2 cr-fache 

 Schmiegungsebene E*> selbst. Die Ebenen der ersten Gruppe 

 ergaben, wie wir sahen, die Berührungspunkte der Evolute mit 

 der Curve C, gewöhnliche Punkte der Evolute; die der zweiten 

 ergeben je einen Wendepunkt auf den Tangenten in A, und A, an 

 C, und A', lïigt zu denselben noch <r auf //, gelegene liinzu. Es 

 ist also: 



