LElütE VON DEN EBENEN CURVEN. 2 I 



die Anzahl der Wendepunkte der TZvolute = 2 e — er, und run 

 diesen liegen <r im UnendUohen und die iïbrigen einzeln auf den 

 Tangenten an G in den imaginaren Kreispunkten. 



Aus der Ordnung, (1er Klasse und der Zahl der Wendepunkte 

 erlialten wir in bekannter Weise diejenige der üoppeltangenten. 

 Man findet : es ist 



die Anzahl der Doppeltang enten der Evolute gleich 



(/* -f v — 2 e — <r) (/x + v — 2 e — <r ~- 1) — (i -f- 5 fi) 



Für den allgemeincn Kegelschnitt erhiilt man 3 , nàmlich die 

 beiden Axen und g x , fur die Parabel 0, wie erforderlich. Tn 

 complicirteren Fallen zahlt g*> für mehrere Doppeltangenten ; eö 



liegen ja auf ilir <r Inflexioneii und \x -- 2 e — 2 <r Spitzen , für 

 vvelche die Tangente allemal mit g x zusammenfallt. Lost man die 

 vielfache Tangente in Doppeltangenten auf, und subtrahiert die 

 erlialtene Zahl von der obigen , so gibt der Rest die Anzahl der 

 Doppelnormalen der Curve C au. l ) 



Wir diseutieren endlieh noch die Zahl y der Punkte der Rück- 

 kehrkante durch welche je eine nicht benachbarte Erzeugende der 

 Flâche hindurchgcht ; nach Abzug einer gewissen Gruppe von im 

 Unendlichen liegenden Punkten dieser Art und nachhcriger Division 

 durch zwei erlialten wir diejenigen Krünitnungskreise welche 6' 

 noch anderswo zweipunktig berühren. Diese abzuziehenden Punkte 

 sind die folgenden. Es schneidet erstens die Rückkchrkante die 

 Curve Kx, einfach in 2i Punkten, herrührend von den ; Wende- 

 punkten von C; durch jeden dieser Punkte gehen , ansser den beiden 

 unendlich benaehbarten Erzeugenden die sich in ilnn sehneiden , 

 v — <r — 2 andre, und es zâhlen also alle diese Punkte zusammen 

 für 2 i (v — o- — 2); dieselben sind abzuziehen weil sic offenbar nicht 

 zu den von uns verlangten Kreisen führen. 



Tn zweiter Linie habcn wir die 2 <r auf K x gelegenen Punkte 

 der Rückkehrkante zu betrachten welche herrühren von den <r Be- 

 ïührungsstellen von C' mit g x , die Punkte also für welche £* selbst 

 Schiniegungsebene ist (§ 3). Es sehneiden sich' in K% v — <r Mat- 

 ter der Fliiche , an jedcr der von uns betrachteten Stellen aber, 



!) Die vorstclienden Resultate sind im Einklang mit den in Salmon-Fiedler's „Ebene 

 Curven", 2° Aufl. S. 122 gegebenen, sobald man bemerkt dass dort vorausgesetzt worden 

 ist, es gehe die Curve C s-rnal durch einen Kr ei spunk t. wâhrend wir, uni mis auf 

 réelle Curven beschianken zu kunnen, vorausgesetzt haben sic gehe e-mal durch beide 

 Kreispunkte. Es ist also in den citirten Form el n jedes e durch 2 e zu ersetzen. 



