22 ANWENDUNG DER CYKLOGRAPHIE AUF DIE 



ausser den beiden durch die Riickkehrkante gehenden, nur v — <r — 1, 

 weil ans einein Berührungspnnkte von Cmity» nur noch v — <r — 1 

 andre Tangenten an dieselbe gehen ; an jeder dieser Stellen hat die 

 Riickkehrkante mit jedem dieser Blatter eine zweipunktige Beriih- 

 ruiig, demi es wird sich aus spateren Betrachtungen ergeben 

 (§ 12), dass von den drei hier uncndlich nahe zusamnienliegenden 

 unendlich fernen Punkten der Riickkehrkante nur zwei als auf 

 Kr> liegend betrachtet werden diirfen ; es ist also zu subtrahieren 

 die Zahl 4 a (y — <r — 1). 



Endlich ist noch auf die 2 (/* — 2 e — 2 <r) anf K*> liegenden 

 Spitzen der Riickkehrkante zu achten, welche von den gewöhn- 

 lichen Schnittpunkten von C mit y x herrühren, und durch deren 

 jede v -- <r — 2 Blatter der Flâche gehen ausser den drei durch 

 die Riickkehrkante, entsprechend den Tangenten aus einem gewöhn- 

 lichen Curvenpunkte an dieselbe. Weil die Riickkchrtangente zu- 

 gleich eine Tangente von K*> ist, so hat die Spitze mit jedem 

 Blatt 3 zusammenfallende Punkte gemein , es ist also schliesslich 

 noch die Zahl 6 (ft — 2 s — 2 <r) (v — o - — 2) zu subtrahieren. 



Fiirht man nun die Rechnung wirklich durch, so erhalt man 

 folgendes Résultat : 



es besitzt die Curve C 



y' = (2.fi-\-v — 4 e — a) {i -\- 3 fi— 6 e — 3 <r — 12) 

 -f <r (v -- <r - - 1) - - 6 fi + 24 v - 14 i + 9 <r 



Krümmiingskrehe , welche sie noch in einem andern Punkte zwei- 

 punhtig beriihren. 



Als Beispiel , und teilweise zur Kontrolle , fiigen wir die Zahl 

 dieser Kreise hinzu fur die verschiedenen Gattungen von Curven 

 dritter Ordnung. Man erhàlt : 



fur die C'l (also die allgemeine C 3 ) 72 ; 



,, C\ (also mit Doppelpunkt) 36 ; 



,, ,, C\ (also mit Riickkehrpunkt) 22; 



, ; CI (<r = 1, welche also y x beriihrt) 46 ; 



„ „ 01 (<r = l) 20; 



„ „ CI (<r=l) 10; 



„ circulare Cl {e = 1) 0, 



„ „ „ Cl (6=1) 0; 



» » „ Cl (« = 1) 0. 

 Die letzten drei Etesultate ziehen wir zur Kontrolle heran. Es 



