LEHBE VON DEN EBENEN OUltVEN. 23 



hat nâmlich ein Kreis mit einer 6' 3 Punkte gemein; isl nun 

 die Curve circular, so hat ein Krümmungskreis mit derselben 

 3 -f- 2 = 5 Punkte gemein, und folglich kann er die Curve nicht 

 (iberdies noch beriihren. Das namliche gilt auch von einer C 4 

 welche bicircular ist, also die imaginâren kreispnnkte zu Doppel- 

 punkten hat; in der Tat gibt auch in diesem Falle unsere Formel 

 die Zahl 0, ganz gleichgültig ob die Curve noch ein en dritten 

 Doppelpunkt bèsitzt oder nicht. Writer kann man in dieser Rich- 

 tung natiirlich nicht gehen, weil eine 6' 5 mit zwei dreifachen 

 Punkten nicht möglich ist. 



§ 8. Das System der die Curve C doppelt beruhrenden Kreise 

 ergibt sich aus der Betrachtung der Doppelcurve der cyklogra- 

 phischen Flàche; die Bildkreise (1er Punkte dieser Curve sind im 

 allgemeinen Kreise der verlangten Art. Nun setzt sich aber die 

 vollstàndige Doppelcurve , deren Ordnung x wir der Tabelle auf 

 Seite 17 entnehmen, aus der Curve C, dein (v — cr)-fachen 

 Kegelschnitt K», und einer Restcurve zusammen, (§ 3), und es 

 ist klar dass nur dièse letztere hier in Betracht kornuit; ihre Ord- 

 nung 2 x' erhalten wir indem wir von der Zahl x die Ordnung /x (1er 6' 



(y — o") (v — cr — 1) 

 und nberdies die Zahl 2 - - = (v — <r) [y — <r — 1) 



J. . & 



subtrahieren; man findet: 



2 x' = 2 (ji + v — 2 e — a)* — 11 ^ — v- -\-2vr — v — 3 i -f~ 



20 e — <r 2 -j- 9<r. 



Diese Restcurve nun ist symmetrisch in Bezug auf die Kbene 

 B ; es ist also der Ort der Centra der die Cur re C doppelt beruh- 

 renden Kreise eine ebene Curve con der Ordnung x ' . l ) 



Die Schnittpunkte der Restdoppelcurve mit der Ebene B sind 

 die folgenden : 



a) Die k Spitzen der C. Nach § 4 sind diesc Punkte Doppel- 

 punkte (1er Ri'ickkehrcurvc der cyklographischen Flàche, und die 

 beiden Schmiegungsebenen in eincin solchen Punkte schneiden sich 

 in (1er Tangente (1er Spitze. Ks gehen also (lurch den Punkt / 

 je zwei und zwei unendlich benachbarte Erzeugenden der Flàche, 



!) Man erkennt leiclit dass es, mu darzutuD dass die Zahl x' immer durch 2 teilbar 

 ist, geniigt zu zeigen dass p -f v' + v + i -\- r"- — s- immer gerade ist. Nun ist 

 (t = v (v — 1) — 2 t — <r (j- — 1) — 3 i, also (t + v* + v + t + <r(<r — Ï)=z2v 1 — 2r 

 also serade. 



