■J t ANWENDUNG DEE CTKLOGRAPHIE AUF DIE 



(1. h. es sclmeiden sich in demselbcn 4 Paare nicht benachbarter 

 Erzeugenden , oder es geben 4 Aste der Doppelcurve durch ihn 

 liindurch, welche aber alle von der namlichen Tangente, namlich 

 der Rückkehrtangente von 6', berïihrt werden; zwei dieser Aste 

 bilden die Spitze von C, die beiden andern eine Spitze der Rest- 

 curve ; in jedein der k Rückkehrpunkte hat also die Ebene B mit 

 der Restcnrve einen dreipunktigen Contact, d. h. es gelten diese 

 Punkte für 3 x oder 3 i -f- 9 (jt, — v) einfache Schnittpnnkte. 



b). Die S Doppelpnnkte der C. Jeder dieser Punkte ist der 

 Sclmittpunkt von 4 nicht benachbarten Erzeugenden der Elache, 

 also ein sechsfacher Punkt der vollstandigcn oder ein vierfaclier der 

 Restdoppelcurve , wahrend leicht einzusehen ist dass die Tangenten 

 an die 4 vcrschiedenen Aste nicht in B liegen. Es gelten also 

 diese Punkte für 4 è einfache Schnittpunkte. Nun ist 



v == \x {ft, - - 1) -- 2 à — 2 s (f - - 1) — 3 K , und 



K — t-\- 3 (/x - v) , folglich 



4 3 = 2 /x 2 -- 20 f* -f 16 v .- - 4 s. {e — 1) — 6 i. 



c). Die einfachen Schnittpunkte mit 6' der zweiuial v — 2 s — <r 

 Tangenten an C ans den beiden iinaginiiren Kreispunkten. Jede 

 solche Tangente hat mit C im Beriih.ru ngspunkte 2 , und iin bc- 

 treffenden Kreispunkte e Paukte gemein, aber weder die einen 

 noch die andern gehüren der Restdoppelcurve an. Demi was den 

 Berührungspunkt anbetrifft, so ist derselbe nach § 4 eine Spitze 

 der Rückkehrcurve, wahrend die zugehörige Schiniegungsebene die 

 Tangente selbst und den Punkt Z* enthiilt und also senkrecht ist 

 znr Ebene B ; nun ist cine Spitze der Rückkehrcurve ein gewöhn- 

 licher Punkt der Doppelcurve , wahrend beide von der niimlichen 

 Gerade berührt werden 1 ); es geht also nur die Doppelcurve C 

 durch diesen Punkt, nicht aber die Rcstcurve. Und was die iiua- 

 giniiren Kreispunkte anbetrifft , so wissen wir bereits (§ 3) dass 

 dieselben , wie alle anderen Punkte von Kr. , (v — <r)-fache Punkte 

 der Fliiehe sind ; es geht also die Restdoppelcurve ebensowenig 

 durch die Kreispunkte wie durch irgend einen beliebigen andern 

 Punkt von K x . 



Ks hat aber die von uns betrachtete Tangente nocli /x~-£- 2 

 einfache Schnittpunkte mit C geinein nnd diese sind für die Rest- 

 curve Doppelpunkte. Weil namlich die Tangente selbst auf der 



') Cremona-Curtze „Oberflâchen" S. 90. 



