LEHEE VON DEN EBENEN CUEVEN. 2 5 



Flache liegt, so gehen durch jeden solchen Schnittpunkt -? Erzeu- 

 gendcn der Flache; der Punkt ist also ein dreifacher fiir die voll- 

 stàndige, und somit ein zweifaoher Punkt fur die Restdoppelourve, 



mid die beiden Tangenten an die letztere liegen in dcr soeben 

 genaiinten vertikalen Schniiegungsebenc , aber nicht in B\ wir erlialten 

 also zwei Schnittpunkte. Und weil es im ganzen 2 [y — 2 £ — <r) 

 Tangenten, und auf jeder derselben 2 {\x — e — 2) Schnitt])iinkte 

 gibt, so erlialten wir, alles zusammen genoinnien, 



4 (v 2 e — <r) (fi — s — 2). 



tl) Die Schnittpunkte (1er zwei Gruppen von v — 2 e — <r Tangen- 

 ten ans den iinaginaren Kreispunkten unter sich; jeder solche Punkt 

 ist der Schnittpunkt zwcier Erzeugenden der Flàche und somit ein 

 einfacher Punkt (1er Doppelcurve, und weil er weder auf 6' noch 

 auf K x liegt so gehort er (1er Restcurve an. Es sind diese Punkte 

 die sogenannten Brennpnnkte der Curve C; wir h'nden also im 

 Vorübergehen den Satz: 



es bctsi/:/ die ( '"roe C (v — 2 e — t) 2 Brennpunkte. 



e) Endlich sind noch die <r Berührungspunkte von Cmit^* zu 

 berücksichtigen. Durch je zwei unendlich benachbarte Schnittpunkte 

 von (! mit g x gehen 4 paarweise unendlich benachbarte Tangenten 

 an A,. , welche (§ 3) Krzeugenden der Flàche sind. Dieselben bil- 

 den ein LLingeschriebenes Vierseit dessen cine Diagonale die Gerade 

 r/x, ist; die beiden andern gehen also (lurch den Pol von y x in 

 Bezug auf Koo, d. h. (lurch Z x . Bine derselben ist die Yerbindungs- 

 linie der Berührungspunkte (1er Tangenten mit K, , die andre ver- 

 bindet die beiden letzten Ecken , welche den beiden auf ffm liegenden 

 unendlich benaehbart sind; diese gehören der Curve 6' an, jene 

 also der Restcurve, d. h. es geht die Restcurve (lurch die <r Be- 

 rührungspunkte hindurch und hat dort durch Z œ gehende Tangenten; 

 wir erlialten somit zu den schon vorhandenen Schnittpunkten (1er 

 l\estcurve mit B noch cr einfache hinzu , und wenn wir jetzt aile 

 in den Gruppen a. . . .e enthaltenen Punkte addiren, so erlialten 

 wir genau die /aid 2 x' , womit dieselbe controlirt ist. 



Die Anzahl der die Curve C in einem gegebenen Punkte P 

 und ilberdies nocli an einer andern Stelle berührcnden Kreise er- 

 halten wir indeni wir eine (1er beiden durch / ; gehenden Krzeu- 

 genden der Pliiche mit der Doppelcurve schneiden. Nun wird eine 

 Erzeugende von /• — 4 nicht benachbarten gesehnitten ') , unter 



!) Cremona-Curtzé „Obeifliiclien" S. 12. 



