26 ANWENDUNG DER CYKLOGEA.PHIE AUE DIE 



diesen befinden sich aber v — <r — 1 welche die gegebene auf K*, 

 und eine welche sie auf C schneidet, sodass für die Restcurve nur 

 /• — (v — <r) — 4 übrig bleiben. Indem wir den Wert von r auf 

 Seite 16 einsetzen erhaltcn wir: 



unter den doppelt berührenden Kr eisen gibt es jeweils 



2 ft, -\- v — 4 e — <r — 4 



welche die Cur re an einer vorgesekri ebenen Stelle berühren. Oder 

 anders ausgedrückt : 



unter den x Schnittpunkten einer beliebigen Normale der Curve 

 C foder Tangente der Evolute) mil dein Ort der Centra der doppelt 

 berührenden Kreise gibt es 2 //. -f- v — 4 e — <r — 4 , deren znge- 

 hörige Kreise die Curve im Fusspunlïte der Normale berühren. 



1st P ein Doppelpunkt von C so wird jeder der beiden Zweige 

 von 2 ft, -J- v — 4 e — <r — 6 doppelt berührenden Kreisen berührt, 

 denn irgend eine der 4 durch P genenden Erzeugenden der Mâche 

 wird jetzt in P nicht von einer , sondern von drei andern Erzeu- 

 genden geschnitten, und wenn endlich P in eine Spitze fallt , so 

 lallen die beiden beim Doppelpunkte getrennt liegenden Système 

 zusammen wahrend die Anzahl der Kreise um eine Einheit wachst. 

 Eine Spitze von C ist namlieh ein Doppelpunkt der Rückkehr- 

 curve der Elache (§ 4) , und die Erzeugenden der Flàche in diesem 

 Punkte sind die Doppelpunktstangenten selbst. Jede derselben wird, 

 ausser eon der andern, noch von r -- 6 weiteren Erzeugenden ge- 

 schnitten l ); im Unendlichen aber àndert sich nichts, also ist die 

 Anzahl der in der Spitze berührenden doppelt berührenden Kreise 

 r — 6' — (v — <r — 1) = 2 ft -J- v — 4 e — er — 5. 



§ 9. Für unsere weiteren Zwecke ist auch eine genaue Kennt- 

 nis des Verhaltens der Doppelcurve in unendlicher Feme notweh- 

 dig; wir ziihlen also die Schnittpunkte mit JJ* wieder der Reihe 

 nach auf. Hier finden wir in erster Linie die <r Berührungspiinkte 

 von C mit g x wieder, von denen im vorhergchenden § sub e) gezeigt 

 worden ist dass in ihnen die Restdoppelcurve die Ebene /£» be- 

 rührt; wir finden also: 



a) 2 a- Schnittpunkte in den Beriihrurigspunkten von Cmit^oo. 



b) Die Schnittpunkte der Tangenter» an K« aus den f/, -- 2 s — 2 <r 

 cinfachen Schnittpunkten von C mit g*> unter sich, wobei aber 



') Crehona-Curtze „Oberflachcn" S. 88. 



