LEHRE VON DEN EBENEN CURVEN. 27 



die auf C selbst liegenden Schnittpunkte ausser Acht bleiben, eben 

 wcil sic auf C und also nicht auf der Restcurve liegen. Jede Tan- 

 gente muss also mit 2 (// -- 2 e — 2 <r) — 2 andern geschnitten 

 werden, sodass wir eine Anzahl Schnittpunkte erlialten gleich 



2 (p — 2 e — 2 <r) (ft — 2 e — 2 <r — /). 



c) Die Schnittpunkte der Tangenten an Ka aus den <r Berüh- 



rungs|)iinkten von C mit g^ un ter sich, die aufy» selbst liegenden 



abgerechnet, denn diese sind bereits sub a) berücksichtigt. Bedenkt 



man dass jede dieser Tangenten für zwei unendlich benachbarte 



gilt, weil die Schmiegungsebene der Riickkehrkante lângs derselben 



mit J'Jco zusammenfâllt (§ 4), so sieht man unmittelbar ein dass 



jeder Schnittpunkt zweier soldier Tangenten für 4 Punkte der 



Doppelcurve gilt, d. h. dass die Doppelcurve in jedeni solchen 



Punkte einen Doppelpunkt hat und in demselben die Ebene E x 



T . , 4. 2 <r (2 <r — 2) 



beruhrt. Wir linden also - - oder 8 <r (<r — 1) weitere 



Punkte. 



d) Die Schnittpunkte der sub b) und e) genannten Geraden 

 unter einander. AVeil jede Gerade der Gruppe e) doppelt zàhlt so 

 wird in einem Schnittpunkte einer solchen mit eincr Gerade der 

 Gruppe b) die Doppelcurve die Ebene 7ï/xberühren langs der letzteren ; 

 folglich erhalten wir 2. 2 (#. -- 2 e — 2 <r) 2 <r neue Schnittpunkte. 



e) Betrachten wir noch einmal eine Gerade der Gruppe b). 1st 

 S* der zugehörige Schnittpunkt der Curve C mit g x , / x eine dei- 

 beiden Tangenten aus $» an üCx, und 7x der Berührungspunkt, 

 so gehen durch diesen an Erzeugenden der Flàche erstens die Ge- 

 rade /x selbst, zweitens die beiden dieser Gerade zu beiden Seiten 

 unendlich benachbarten (7» ist eine Spitze der Riickkehrkante, $ 4), 

 drittens die v — <r — 2 andern welche 7» verbinden mit den Be- 

 rührungspunkten der aus S x noch an C gehenden Tangenten , ini 

 ganzen also v — er -\- 1. Durch einen beliébigen Punkt von K<* 

 gehen aber uur v--<r, also begegnen voir in T& einem Schnittpunkte 

 von K x mit der Restdoppelcurve , und zwar werden durch Tx> 

 v — <r — 2 Ziceigc der -Restc-u ree gehen , entsprechend den Schnittpunkten 

 der einen überzahligen Erzeugende f?, mit den v — <r — 2 nicht 

 benachbarten, und alle diese Zweige /eerden von der Gerade / x be- 

 ■riihrt , weil die Schmiegungsebene langs jeder der v — <r — 2 Erzeu- 

 genden durch /x selbst hindurchgeht und also von der Schmiegungs- 

 ebene langs 4> in dieser Gerade selbst geschnitten urird. Wir erhalten 

 somit 2.2 (//. — 2 e — 2 <r){v — <r — 2) weitere Punkte. 



