28 ANWENDUNG DEE CYKLOGEAPHIE AUF DIE 



f) Betrachten wir auch noch eininal eine Gerade der Gruppe c). 

 Sx, S'x seien die beiden imendlich benachbarten Schnittpunkte von 

 C mit g x , tx, t'x die unendlich benachbarten Tangenten ans ihnen 

 an Km, so ist der Schnittpunkt Tx der Berührnngspnnkt. Nun gehen 

 aus Sx noch v — <r — 1 Tangenten an C, durch Tx also ausser 

 tx, t'x noch v — <r — 1 Erzengenden, und also im ganzen wieder 

 v — <r -\- 1. Die eine uberzâhlige schneidet aber jetzt v — <r — 1 

 nicht benachbarte, es gehen also jetzt durch Tx v — or — 1 Zweige 

 der Bestcurve, welche, mes clem nàmlichen Grimde wie sub e), alle 

 von tx berührt werden. Allein, was von l* gilt, gilt ebenfalts von 

 t'x. d. h. es hat in diesein Falle jeder der v — <r — 1 Zweige tier 

 llestcurve in Tx mit Ex einen dreipunhtigen Contact. Und die ant' 

 diese Weise neu hinzukommende Schnittpunkteanzahl ist also 

 3.2<r(v — a- — l). 



g). Wir haben cndlich noch die Doppeltangenten der Curve C 

 zn betrachten. Es habe eine solche mit 6' geinein die benachbarten 

 Punkte B, B' und B 1} B\ , wâhrend sie gx in Sx schneide, und 

 eine Tangente aus Sx an Kx mit dieser Curve die Nachbarpunkte 

 Tx, T'x gemein habe. Es gehen aus Sx an C noch v — 7 — 2 

 Tangenten, und es gehen also durch Tx die Erzengenden Tx B, 

 Tx B l und noch v — a- — 2 andre, und ebenso durch T'x die Er- 

 zengenden T'x B', Tx B\ und noch v--<r — 2 andre. Durch 

 jeden dieser beiden Punkte gehen also, wie durch irgend einen 

 andern Punkt von Kx, nur v — cr Erzeugenden, aber wâhrend iin 

 allgemeinen die zu zwei Nachbarpunkten gehörigen Erzeugenden 

 windschief sind haben hier Tx B und T'x B\ , und ebenso Tx A', 

 und T'x B' einen Punkt gemein ; und es schneide/ also die Best- 

 cur re die Ebene Ex in Tx, wâhrend leicht einzusehen ist dass die 

 'Tangente der vierte harmonische S/ra hl ~u Tx Sx in Bezug au f 

 Tx B, Tx B { is/, d. h. also die Strecke ztoischen den Ber/ihrtmgs- 

 punkten der Doppeltangente senkrecht ha/birf. 



Die Anzahl dieser letzten (iruppe von Schnittpunkten ist 2r, 

 oder, indein wir eine der PLücKEit'sehen Formeln benutzen, 

 v (v — l)--jj. — 3 i — <r (<7 — 1). Und die Addition aller in den 



Gruppen a) g) enthaltenen Anzahlen führt in gehöriger Weise 



wieden' zu (1er Zahl 2 x' . 



§ 10. Die llesultate des vorhergelienden Paragraphen sollen 

 jetzt benutzt werden zur Bestimmung dei' Anzalil und (1er Natur 

 der vielfachen Punkte unseres Ortes der Centra dei' doppelt beriili- 

 renden lvr(üse. Ms kanii die Restdoppelcurve keine Doppelpunkte 

 zeigen, ausser etwa in gewissen Punkten welche sic mit C oder 



