LEHRE VON DEN EBENEN CURVEN. 29 



K-o gemeiii liât; demi sobald mehr als zwei Erzeugenden der Flâche 



sich iin nâmlichen Piinktc begegnen erhâlt die Doppelcurve mindc- 

 stens einen dreifachen Punkt; dièse sind aber fur uns von grosser 

 Wichtigkeit, demi ihre Projektionen auf B sind die Mittelpunkte 

 von Kr eisen welche die Curve G in drei verschiedenea Punkten 

 berühren; es gilt also deren Anzahl zii bestinmien. 



Besitzt die Projektion der Restdoppelcurve Doppelpunkte, su 

 werden dièse also herrühren von Geraden senkrecht zur Ebene 8 

 welche die Raumcurve in mehr als einem Punkte sehneiden, und 

 zwar wird die Anzahl dieser Punkte 4 sein müsssen, infblge der 

 Symmetrie der Curve in Bezug auf B ; hieraus ergibt sich dass 

 die Doppelpunkte unsres Ortes Mittelpunkte sind von zwei ver- 

 schiedenen die Curve C doppelt berührenden Kreisen, und audi 

 die Anzahl dieser Punkte ist also fur uns von Wichtigkeit. 



Zur Bestimmung dieser Anzahlen herechnen wir nun in erster 

 Linie die Klasse des Ortes der Centra der doppelt berührenden 

 Kreise. Denken wir irgend eine Gerade g senkrecht zu B. Die- 

 selbe wird nach § 6, S. 17 von B Tangenten der vollstiindigen 

 Doppelcurve geschnitten , und unter diesen B Tangenten betinden 

 sich v, welche an C gehen, und 2 an Kœ ; allein K x ist eine 

 {y - - <r)-fache Curve der Flâche, und kann also aufgefasst werden 

 als die Superposition von A (v — <r) (v -- <t — 1) Doppelkegelschnit- 

 ten ; jede der beiden Tangenten gilt daher als eine Tangente an 

 jeden dieser Kegelschnitte , beide zusammen geiten also rur(«--ö") 

 (v — a- — 1). Subtrahicren wir diese letztere Zahl, verinehrt uni v, 

 von B, so erhalten wir die Anzahl der Punkte von g (lurch welche 

 nummehr Tangenten (1er Restdoppelcurve gehen, und diese Tan- 

 genten werden infolge der Symmetrie ini allgenieinen paarweise mil 

 g in einer Ebene liegen, und die Spur einer solchen Ebene wird 

 eine Tangente sein unseres ebenen Ortes ans dem Fusspunkte der 

 Gerade g in B. Allein auch hier gibt es wieder Ausnahincn ; demi 

 die Gerade g enthâlt den Punkt Zx, und durch diesen gehen ei- 

 stens die Tangenten in den (v — 2e — <r) 2 einfachen Schnittpunkten 

 der Restdoppelcurve mit B (den Brennpunkten von G, % 8, S. 25), 

 und zweitens die Tangenten in den <r unendlich fernen Punkten, 

 welche herrühren von, umi zusanuncnfallen mit, den Periihrungs- 

 punkten von C mit y» (§ 8, S. 25), und es ist klar dass dieae 

 beiden Gruppen von Tangenten hier auszuschlicsseu sind, wcil die 

 Ebenen durch dieselben und g die Raumcurve berühren ohne dass 

 ihre Spuren Tangenten der Projektion dei'selben sind. Also cist 

 nachdeni auch noch die uni <r veruaehrte Zahl (v -- 'J s — <r) 2 ab- 

 gezogen ist erhalten wir einen Rest, der, durcit 2 geteut, die Klasse 



