30 ANWENDUNG DER CYKLOGRAPHIE AUF DIE 



unseres Ortes ergibt. Nennen wir das Résultat der Division B' , so 

 erhalten wir: die Klasse des Ortes der Centra der die Curve C 

 doppelt berilhrenden Kreise ist gleich 



B' = 2 -f 3) O -f v — 2 e — er) - - 8 (ji -f v) — 2 v {v — e — <r) 

 — 2 e (g -\- <r — 9) — 2 <r (o- — 4). 



Nachdein jetzt die Klasse unsrer Curve bestimmt worden ist 

 brauchen wir nur noch die Anzahl ihrer Rückkehrpunkte zu kennen 

 um ]iüttelst einer der PLücKER'schen Formeln audi die Anzahl der 

 Doppelpunkte zu erfahren. In Bezug auf die Rückkehrpunkte nun 

 ist folgendes zu bemerken. Es besitzt erstens die Restdoppelcurve 

 y. Rückkehrpunkte in den k Spitzen der Curve C (§ 8, S. 23), 

 allein diese verschwinden in der Projektion , weil die Tangential- 

 ebenen in denselben senkrecht sind zur Ebene B; in der Projek- 

 tion erhalten wir hier einfach Übergange von parasitischen in nicht 

 parasitische Teile. Dann aber zeigt die Restdoppelcurve eine Spitze 

 in jedem Punkte wo die Rückkehrkante von einer diese letztere 

 Curve anderswo berührenden Gerade geschnitten wird; deun in 

 einem solchen Punkte werden zwei langs der Rückkehrkante zu- 

 sammenstossende Blatter der Flache von einem einfachen Blatte 

 geschnitten, was, wie die directe Anschauung lehrt, zur Eolge hat 

 dass audi die Doppelcurve diesen Punkt enthiilt, und zwar als 

 Spitze. Die Anzahl dieser Punkte betragt nach § 7, S. 22 2 y' ; 

 dieselben liegen aber paarweise symmetrisch in Bezug auf B, sodass 

 die Anzahl der Bückkehrpunlde des Ortes der Centra der doppelt 

 berilhrenden Kreise y' betragt. 



Nennen wir jetzt die Anzahl der Doppelpunkte è' , so ergibt die 

 PLücKEii'sche Formel : 



B' = x {x — 1) — 2 b' — 3 y' , oder 

 1 



2 



y = 1 x' (x'--l) — B' — 3 y' 



Allein diese Punkte sind bei weitcm nicht alle wirkliche Dop- 

 pelpunkte, sondern es mussen infolge des complicirten Verhaltens 

 der Restdoppelcurve in unendlicher Ferne mehrere der im vorher- 

 gehendeu Paragraphen erhaltenen Anzahlen jetzt wieder subtra hiert 

 weiden. Vorher aber sei noch bemerkt dass die è vierfachen Punkte 

 der Restdoppelcurve, vvelche mit den Doppelpunkten der C ztisam- 

 menfallen (§ 8, S. 24), (lurch die Projektion übergehen in Dop- 

 pelpunkte, und zwar, wie unmittelbar einzusehen, in solche deren 



