LEHRE VON DEN EBENEN CURVEN. 33 



diese hat, sobald v — <r > 2 ist , unendlich viele dreifachen Punkte. 

 weil ja, (1er Kegelschnitt K r . einc (v - - ff)-fache Curve ist. Wir 

 bra uchen also cine Formel fur die An/ahl der dreifachen Punkte 

 der Restdoppelcurve , mid erhalten dieselbe indem wir der Methode 

 folgen nach welcher Cremona l ) im allgemeinen Falle die entepre- 

 ehende Formel fiir die nicht degenerirte vollstândige Doppelcurve 

 gefunden hat, mul welche einfach hierin besteht dass man die 

 sâmtlichen Schnittpunkte der Curve mit der zweiten Polarflàche 

 irgend eines Poles O in Bezug auf die cvklographische Flàche 

 bestimmt, und bemerkt dass sich unter diesen auch die gesuchten 

 Punkte vorfinden mussen, weil die dreifachen Punkte der Doppel- 

 curve zugleich dreifache Punkte der Flàche, und deshalb anf der 

 zweiten Polarflàche irgend eines beliebigen Poles gelegen sein mus- 

 sen. Überdies zahlt jeder solchc Pmikt fiir 3 einfache Schnitt- 

 punkte, eben als dreifacher Punkt der Curve. Wir haben also 

 folgendes: es ist die Ordnung der Restdoppelcurve 2 x (§ 8 , S. £3), 

 diejenige irgend einer zweiten Polarflàche r — 2, und so mit die 

 Anzahl der Schnittpunkte beider 2 x' (r — 2), und diese Schnitt- 

 punkte setzen sich nun in unserm Falle ans den folgenden zelm 

 Grappen zusamnien: 



1°. den Punkten, in denen die Erzengenden der Flàche, lângs 

 welcher die n = 2 v Tangentialebenen ans O an dieselbe sic be- 

 riïhren, von anderen Erzeugenden geschnitten werden. Deun diese 

 Punkte sind fur den vollstiindigen Querschnitt einer solcheu Tan- 

 gentialebcne mit der Flàche selbst dreifach (dieser Querschnitt be- 

 steht nâmlich ans einer Curve von der Ordnung r -- 2 und der 

 Berührungserzeugende doppelt gezâhlt), also mit der ersten Polar- 

 flàche von O zweifach, und also mit der zweiten einfach. Nun 

 wird jede solche Berührungserzeugende von r - / anderen ge- 

 schnitten; einer dieser Schnittpunkte liegt aber auf 0, v — a / 

 andere liegen vereinigt auf K*, auf der Restcurve liegen also nicht 

 ïnehr als /• ■ — ■ v -- a -- 4, nnd es besteht also diese erste Gruppe 

 ans n (r — v -\- a — 4) Punkten. 



2°. Ein Doppelpunkt der Rückkelircurve ist für die Doppelcurve; 

 vierfach, und gilt für zwölf Durchschnittpunkte dei 1 letztcren Curve 

 mit der zweiten Polarrliiche irgend eines Poles O. 2 ) Nun besitzt 

 unsere Rückkehrcurve in der Tat Doppelpunkte, und zwar in den 

 Spitzen der Curve C, deren Anzahl k = t - ■>' Qu, — v) ist; in jedem 



') „Oberflachen" S. 87, ft'. 

 -) Cremona-Curtze „Obcrfliiclien", S. 89. 

 Verliand. Kon. Akad. v. Wetenscb, (Ie Sectie) Dl. VIII, G 3 



