34 ANWENDUNG DER CYKLOGRAPHIE AUF DIE 



dieser Pankte besitzt nicht nur die Curve C, sondern auch die 

 Restcurve eine Spitze (§ 8, S. 24), beide mit der nàmlichen Tan- 

 gente, d. h. es verhalten sich die Curve C und die Restcurve in 

 diesen Punkten ganz gleich, und wenn also ein solcher Punkt in 

 Bezug auf die vollstândige Doppelcurve 12 Schnittpunkte absor- 

 birt, so reprâsentirt er fur die Restcurve deren sechs. Und es 

 besteht also dièse zweite Gruppe aus 



6 D = 6 k = 6 i -f 18 (/a — v) Punkten. 



3°. Ein Rückkehrpunkt der Rückkehrcurve ist für die Flâche, 

 als Sclinittpunkt dreier Erzengenden, ein drcifacher Punkt, aber 

 von der besonderen Eigenschaft dass der kubische Berührungskegcl 

 aus drei mit der Tangentialebene zusammenfallenden Ebenen be- 

 steht. Irgend eine erste Polarflâche hat also in ihin einen unipla- 

 naren Doppelpunkt, und jede zweite Polarflâche geht einfach durch 

 ihn hindurch, und berührt in ihm die Tangentialebene der Flache, 

 und clamit auch die Doppelcurve , deun die Doppelcurve und die 

 Rückkehrkante haben in einer Spitze der letzteren die nâmliche 

 Tangente. l ) Wir erhalten also als dritte Gruppe von Schnittpunkten 

 die Anzahl der Rückkehrpunkte der Rückkehrkante , multipliziert 

 mit zwei. Allein vorher sind abzuziehen die 2 (v — 2 s — a) in den 

 Bei iihrungspunkten der Tangenten aus den beiden Kreispunkten an 

 G liegenden (§ 4, S. 10), weil diese von der Doppelcurve 6', nicht 

 aber von der Restcurve berührt werden, und überdies wollen wir 

 auch noch die 2 (/jl — 2 e — 2 a) au f K x liegenden Spitzen sub- 

 trahieren (§ 4, S. 11), denn diese zeigen ein weit complicirtercs 

 Verhalten, und sollen also weiter untcn (sub 7) für sich untersncht 

 werden. 



Es ist nun die Anzahl der Spitzen überhaupt (§ G, S. 1(5): 



/3 == 12 (Jt, — 4 v -f 6 i — 24 e — 12 a ; 



subtrahiert mussen werden: 2 /jl -\- 2 v — He — 6 a, sodass übrig 

 bleiben 



10 fi 6v-\-6t— 16 s — 6 v; 



und diese Anzahl, multipliziert mit zwei, ergibt als Beitrag dieser 

 d ritten Gruppe 



/ (5 fi — 3v-\- -V t — 8 e 3 n). 



') CUEMONA CüRTZE ,.< »Imi lliiclicll" S. '.)(). 



