LEHHE VON DEN EBENEN CURVEN. 85 



4°. Die zweite Polarflàche eines beliebigeij Poles hat mit der 

 Doppelcurve einen dreipunktigen Contact in jedem Punkte der 

 Etiickkehrkante wo diese letzterc von etner anderswo beriihrenden 

 Krzengende der Fliichc geschnittea wird ] ); jeder solche Punkt ist 

 namlieh ein Rückkehrpunkt fur die Doppelcurve, wàhrend sicli 

 zeigt dass irgend eine zweite Polarflàche die Rückkehrtangente be- 

 riilut. Die Anzahl der auf i\er Restdoppelcurve liegenden Punkte 

 dieser Art ist 2 y' (§ 7, S. 22), der zu unserer Schnittpunkte-anzahl 

 beigesteuerte Betrag also y' . 



5°. Ein Doppelpunkt der Curve (J ist der Schnittpunkt von / 

 Erzeugenden der Flàche, und also fiir diese ein vierfacher Punkt; 

 jede zweite Polarflàche gelit also zweimal dnrcli ihn hindurch, und 

 weil er auch ein vierfacher Punkt fiir die Restdoppelcurve ist 

 (§ S, S. 24) so zàhlt er fiir 8 cinfaehe Schnittpunkte beider; wir 

 erlialten also eine weitere Anzahl von 



8 3 = 4 \ {j? - - 10 p -f- 8 v - 2e(e--l) -- 3 t j. 



6°. Ans jedem der beiden Kreispunkte gehen an Cv — 2 e- q 

 Tangenten, deren jede die Curve in fi — e — 2 einfachen Punkten 

 schneidet; diese Punkte sind dreifache Punkte fiir die cyklogra- 

 phise Pluche und Doppelpunkte fiir die ttestdoppelcurve (§ 8, S. 2 1), 

 durch jeden geht also die zweite Polarflàche einfach hindurch, 

 wàhrend er fiir zwei der gestichten Schnittpunkte gilt; der jetzige 

 Beitraff ist also 



4 (v — 2 e — 7) (// - e — 2). 



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7°. Jetzt mussen endlich noch einigc Gruppen von unendlich 

 fernen Punkten der Restdoppelcurye in Betracht gezogen werden. 

 Nehincn wir zuerst die 2{fx--2e — 2 a) Berührungspunkte auf 

 K-c der Tangenten ans den einfachen Schnittpunkten von C mit 

 g* an jenen gezogen (§ 9, S. 27, e). Durch einen solchen Punkt 

 gehen v — a -\- 1 Blatter der Flàche, alle die Tangente an A', 

 berührend, und y — a — 2 Zweige der Restdoppelcurve, ebenfalls 

 diese Gcrade berührend, er absorbirt also 2 [y — 7 - /) (v — n -- 2) 

 Schnittpunkte der Restcurve mit irgend einer zweiten Polarflàche, 

 deun von dieser letzteren gehen offenbar v — n - -1 Blatter, auch 

 wieder die nâmliche Gerade berührend, durch ihn hindurch. Zu- 

 sammenfassend erhalten wir also 2. 2 (ft- — 2 e -2 7) (v — a- I) 

 (v — 7 — 2) neue Punkte. 



!) Cbemona-CüRTZe „Obevfliichcn" S. 90. 



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