LEHRE VON DEN EBENEN CURVEN. 4 1 



Beilàufig sei bemerkt class man, wenii jiiiin beweisen will dass 

 (1er Klaminerausdruck gerade ist, wieder auf den Ausdruck 

 (z -\- v 2 -\~ v -\~ i -\- a 2 — a mid daniit auf die Bemerkung des 

 §8, S. 23 geführt wird, womit der Beweis geleistet ist. Pur 

 allgemeinen Kegelschnitt, Parabel and Kreis gibt die Formel bcz. 

 die Anzalden 4, 2, 0. 



Aus der Orduung, der Anzahl der Doppelpunkte und derjenigen 

 der Riickkehrpunkte lassen sicli nun in bekannter Weise die übrigen 

 Singularitaten herleiten ; insbesondere findet man fiir die Klasse 

 das merkwiirdig einfache Résultat 2 //, — 2 e, welches auch des- 

 wegen auffallig ist weil weder v noch / noch a darin auftreten. 



Wird P auf (1er Curve C selbst gewâhlt so beriiliren Kegel und 

 Flàche sicli langs der beiden Erzeugenden in den Tangent ial- 

 ebenen welche die Tangente in P an Centhalten; hieraus folgt 

 dass sicli von unserer ebenen Curve die Normale in P zu C, zwei- 

 mal geziihlt, abtrennt, so dass ein Rest übrigbleibt dessen Ordniing 

 inn zwei Einheiten niedriger ist als im allgemeinen Kalle. Uas 

 Büschel (1er die C in P berührenden Kreise enthàlt naeb friiherem 

 einen Kriimmungskreis und (§ 8, S. 26) 2j*,--v — I e — n — /■ 

 Kreise welclie in P selbst und noch an einer andern Stelle be- 

 rüliren; subtraliieren wir diese beide Anzahlen , die erste mit drei, 

 die andre mit zwei niultipliziert l ) , voni Punktindex der Kreisreihe 

 der Kriimnuingskreise und der doppelt berührenden Kreise, so 



*) Die beiden Erzeugenden welclie die FHiche und der Kegel geniein lialien enthalten 

 je 2 unendlieh benachbarte Punkte der Rückkehrkante; die Sclimiegungscbenen dieser 

 Punkte sind aber zugleicli Tangentialebenen des Kegels, daber die Rückkehrkante an 

 beiden Stellen mit dcni Kegel eine dreipunktige Beriihrung eingeht, oder also <5 Punkte 

 rait demselben gemein bat. Dieselben liegen aber paarweise symmetrisch in Bezug auf 

 B, in der Projektion sind also 3 Einheiten zu subtraliieren. Übrigens ist dies auch wohl 

 aus planimetrischen Grimden evident, denn durch jeden Punkt einer Curve gehen ,'5 

 unendlieh benachbarle Kriimmungskreise. An den Stellen aber wo die namlicheu Erzeu- 

 genden der Doppelcurve begegnen findet eine einfache Beriihrung statt; diese Punkte 

 ziihlen also nur doppelt. Zugleicli erhalten wir jetzt hier ein Mittel uni zu zeigen 

 (vergl. §7, S. 22) dass von den drei in einem Punkte der Gruppe ƒ', i; 9, S. 28 ver- 

 einigt liegenden Punkten der Rückkehrkante nur zwei als auf Kx liegend angesehen 

 werden dürfen. Lagen sie uiimlich alle drei auf A'oo , so wüidcn siiintliche wi unendlieh 

 fernen Punkte der Rückkehrkante auf Kx> liegen, und es würde also die letztere den 

 quadratischen Kegel in m endlichen Punkten schneiden, d. b. durch einen belicbigen 

 Punkt P würden h >» = ' + 3 ft — 6 s — .7 a-, und durch einen Punkt der Curve selbst 

 i -f- .-' fj. — 6 e — 3 a- — S Kriimmungskreise geben. Diese Formel gibt für die Parabel 

 die Anzahl 0, was offenbar falsch ist, denn der Kriimmungskreis in einem Punkte A schnei- 

 det die Parabel noch in einem andern Punkte If; durch B geht also wenigstens ein 

 Kriuniuungskreis, und nicht kein einziger; anstatt — 3 a- muss die Formel also das Glied 

 — i a- enthalten, daun aber liegen von den drei unendlieh benachbarten Punkten nur 

 zwei auf Kx . 



