42 ANWENDUNG DER CYKEOGRAPHIE AUP DIE 



erhalten wir : durcit einen beliebigen Punkt der Curve C gehen 

 i -J- 3 (Ji — 6 s — 2 a — 3 Kriimmungskreise welche die Curve nicht 

 in diesem Punkte selbst osculieren. Und: 



durch einen beliebigen Punkt der Curve C gehen 



(2 p -\- v — 4 e — a) 2 — 21 p — 5v — 3 l^-40 e -\- 11 a + 16 



doppelt beriihrende Kreise, deren Berührungspunlcfe nicht mit diesem 

 PunJcte zusammenfallen. 



Es gibt die letztere Formel fur allgemeinen Kegelschnitt und 

 Parabel null, was offenbar riclitig ist, für den Kreis aber 4; allein 

 fur den Kreis ist 2 \x \ v — 4 s — a — 4 = — 2 , also negativ; 

 die Formel hat somit fur den Kreis keinen Sinn. 



Man könnte nun Aveiter den Pnnkt P in einem Doppelpunkte 

 der C wahlen, oder in einer Spitze, u. s. f. , oder, ilm wieder von 

 der Curve entfernend, in einem Brcnnpunkte , etc., allein zur Ver- 

 meidung von Weitschweifigkeit gehen wir an allen diesen Problemen 

 mit Stillschweigen vorüber , prinzipicll diirfen sie aber als gelost 

 betrachtet werden. Nur folgcndes fiigen wir zum Schlusse noch 

 hinzu ; wahlt man ausser P noch einen zweiten Punkt Q , so durch- 

 dringen sich die beiden zu P und Q gehörigen Kegel in einer 

 zur Ebene B symmetrischen gleichseitigen Hyperbel, welche zwei 

 Punkte von Kr> enthalt, und deshalb die cyklographische Flache 

 schneidet in 



2 r = 4 (/J, -[- v — 2 e — a) Punkten , 



von denen aber 2( v — a) im Unendlichcn liegen; subtrahicren wir 

 diese und dividieren den Rest durch ZAvei, so erhalten wir: es gibt 

 2 [J. -f- v — 4 s -- a Kreise welche die Curve C beriihren und iibcrdies 

 (lurch zwei beliebir/e Punkte gehen. 



Es ist diese Zahl gcnau gleich der Ordnungszahl der in diesem 

 § untersuchten ebenen Curve, was aus der Entstehungsweise beider 

 wohl audi evident ist. 



Man kann nun wieder einem der beiden Punkte, oder audi 

 beiden, spezielle Lagen erteilen, und so eine ganze Eteihe von 

 Spezialfallen bilden , auf die wir aber hier nicht eingehen wollen. 



§ 13. Wenn in der Ebene B eine Gerade g gegeberi is so kann 

 man fragen nach alien Kreisen welche C berühren und g unter 

 einem Winkel von vorgeschriebenem Cosinus schneiden, bez. eben- 

 i'alls beriihren. Wenn wir uns auf den Fall des Berührens , als den 



