11 ANWËNDUNCx DER CYKLOGRAPHIE AUF DIE 



den Kreise enthàlt im Unendlichen einen P unlet, in einer Bichtung 

 senkrecht zu g, wo v — n Zweige die unendlich feme Gerade be- 

 r /Utren , welter 2 (ft --2 s — 2 a) einfache Punkte, und schliesslich 

 2 a Beriihrungspunkte mit g* . 



Man kann nun wieder der Gerade g eine ganze Reihe von spe- 

 ziellen Lagen erteilen, sie etwa zusammenfallen lassen mit einer 

 beliebigen Tangente, einer Wendetangente, Doppeltangente , Asymp- 

 tote, einer Gerade welche durch einen der Beriihrungspunkte von 

 C mit g y, geht, u. s. w. ; den wichtigsten Spezialfall evhalt man 

 aber wenn man g ins Unendliche rückt, und diesen wollen wir 

 daher noch kurz erörtern. Man kann dann für die durch g gehende 

 Ebene jede zu B parallèle Ebene nehmen, und erhalt daher durch 

 Projektion der Quersclmitte auf die Ebene B die zur Curve Cge- 

 hörigen Parallelcurven. Ordnung, Klasse und Anzahl der Rück- 

 kehrpunkte derselben sind einfach gleich Ordnung, Klasse und Ord- 

 nungszahl der Rückkehrkante der cyklographischen Flache, für die 

 Doppelpunkte aber ist die genaue Betrachtung der unendlich fernen 

 Punkte erforderlich. Da erinnern wir uns nun zunachst (§ 8, 

 S. 25, sub e) dass die a Beriihrungspunkte von C mit g* zugleich 

 Punkte der Restdoppelcurve sind; ausser diesen enthàlt die Quer- 

 schnittebene deren noch 2 x' — a, und dies ist also die Anzahl de r 

 nicht in unendlicher Feme liegenden Doppelpunkte der Parallelcurve. 



Nennen wir irgend einen der t hier in Betracht kommenden 

 Punkte Pœ. Es gehen von ihm ans zwei Tangenten an K x , welche 

 der cyklographischen Elâche angehören; die Schmiegungsebenen langs 

 derselben fallen beide auf 7i». P x ist also aufzufassen als der 

 Schnitt der beiden Berührungserzeugenden einer Doppelschmicgungs- 

 ebene, d. h. es berühreu sich in P x zwei Blatter der Fliiche, oder 

 schneiden sich in einer Curve mit einem Doppelpunkt in P x (die 

 beiden Zweige sind C und die Restdoppelcurve). 



Irgend ein ebener Schnitt durch P x wiirde nun die beiden Blatter 

 (1er Flache schneiden in zwei Curvenasten die sich in P œ beriihrcn 

 würden, in unserm Falle aber enthàlt die Querschnittebene die 

 Tangente an einen der beiden Âste der Doppelcurve (nanilich an 

 C), folglich geht die Berührung über in eine Osculation. 



Wenn wir nun, fortfahrend, bemerken dass die 'fi -- 2 e -- 3 a 

 einfaelien Schnittpunkte von C mit g« gcwöhnliche Doppelpunkte 

 der Parallelcurve sind, so bleiben nur noch die imaginaren Kreis- 

 punkte zu untersuchen iibrig. Durch jeden derselben, sagen wir 

 /, , gelien v — 2 s -- 7 Tangenten an G, welche zur Flache geboren, 

 und deren zugehörige Schmiegungsebenen sâmtlich die Tangente in 

 /, an Kr enthalten (§ 3, S. 9), und e Doppelschmiegungsebenen, 



