LEHItE VON DEN EBENEN CURVEN. 4 5 



welche durch die nâmliche Tangente an K« unci die e Tangenten 

 an G' gehen. Ein ebener Quersclmitt durch y* geht also mit 

 v — 2 e — a einzelnen Zweigen durch I x , wâhrend 2 e andere sich 

 dort paarweise berühren. Und dasselbe gilt von 7 2 . Zusammen- 

 fassend können wir also sagen : 



die Parallelcurven der Curve C sind von der ürdnung 

 r = 2 (//. -|- v — 2 e — er), und von der Klasse n = 2 v ; die Anzahl 

 der Rückkehrpunkte ist gJeich w = 2 (t -j- S [x — 6 ■: — 3 d) , die 

 Anzahl der nicht in unendlicher Feme liegenden Doppelpunhte 

 2 x' — o, wal/ rend die unendiicl/ fernen Punkte sich zusannnensetzen 

 aus {J, — 2 e — 2 n (jeicohnlichen Doppelpunkten , n Punkten wo zwei 

 Curvendste sich gegenseitig in dr ei und g* in zwei Punkten berühren, 

 und den beiden imagina ren Kreispunkten. Durch jeden dieser letz- 

 teren gehen v — 2 e — a einzelne, und 2 e sich paarweise berührende 

 Asie hindurch. ] ) 



Die PnüuKER'schen Formeln gestatten diese Ergebnisse zu kon- 

 troliren, und die Anzahl der Wende- und Doppeltangentcn hinzu- 

 zufügen ; aber aus der planinietrischen Entstehungsweise der Paral- 

 lelcurven ist ja schon klar dass die Anzahl der Wendepunkte einfacli 

 gleich 2t ist, und dann ergibt sich die Anzahl der Doppeltangentcn 

 glcich 2v{y — 1) — (Jt, -\~ 2 s — 2 a {a — 1)— 3 i. 



Ms sei ausser der beliebig angenommenen Gerade g noch eine 

 zvveite Gerade h gegeben. Schneiden wir eine der zu h gehorigen 

 45° Ebenen mit den beiden Ebenen durch g so erhalten wir zwei 

 Geraden unter beliebiger Neigung zur Ebene B, deren jede also 

 die cyklographische Flâche in r = 2 (/a -- v — 2 e — n) ini allge- 

 nieinen im Endlichen liegenden Punkten schneidet; also: 



es gibt zweimal 2 (fz -j- v — 2 e — 7) Krei.se welche die Curve C 

 und zwei beliebige Geraden berühren. 



1st C ein Kreis, so erhalten wir die 8 Lösungen eines der Apol- 

 lonischen Problème, und wenn C ebenfalls eine Gerade ist die / 

 ein- und angeschriebenen Kreise des Dreiecks. 



Es seien ein Punkt P und eine Gerade g gegeben. Eine der 

 zu g gehorigen 45° Ebenen schneidet den zu F gehorigen Kegel 

 in einer Parabel, und diese die cyklographische Flâche in 

 2 r = 4 (f/, -\- v — 2 e — o) Punkten, von welchen aber 2 (v — n) 

 i 111 Unendlichen liegen, weil die Parabel Kr. berührt; also: 



es gibt 2 (2 fx -\- v — 4 e — a) Kreise welche durch einen Punkt 

 gehen und überdies eine Gerade und die Curve C berühren; ihrc Mittel- 



i) Fiir einen Teil dieser Ergebnisse vergleiche man Salmon-Fiedler „Ebene Curven" 

 S. 120, und Versluys 1. c. S. 76. 



