LEHKE VON DEN EBENEN CURVEN. 1 ■', 



Paukten schneidet welche sowohl für die Durchdringung selbst wie 

 für die Projektion Doppelpunkte sind; die Anzalil der Doppelpunkte 

 iin jetzigeii Falle ist also gleich zweimal der Anzahl im frûheren 

 Falie, vermehrt uni 2 [x. 



Will man die Klasse der Curve bestimmen, so hat man zu be- 

 denken dass in jedeni der (i-~2e — 2 a obengenannten unendlicb 

 fern en Punkte zwei, und in jedem der o Punkte sogar drei Dop- 

 pelpunkte uninittelbar neben einander liegen; mit Berücksichtigung 

 derselben findet man fur die Klasse die Zahl 



2 j {2 fi -J- v — 4 s — af — 2 fi -f- 2 e -\- 4 * J. 



Wenn man im obigen allgemeinen Satze bei der Anzahl der 

 Doppelpunkte die Zahl — 11 //, wieder ersetzt durch — IS ijl, so 

 liisst sich ans demselben uninittelbar ablcsen wieviel Krümmunes- 

 kreise oder doppelt berührende Kreise der Curve C einen beliebi- 

 gen Kreis K berühren; die Anzahlen sind einfach zweimal so gross 

 wie die entsprechenden des § 12. Und wenn man con dienen heulen 

 Zahlen 4 und resp. 2 Ein hei ten null ra hier I so hal man die Anzahl 

 der Krümmungshreise welche einen beliebigen Krümmungskreis , mal 

 die Anzahl der doppelt beriihrenden Kreise welche einen beliebigen 

 doppelt beriihrenden Kreis berühren. Denn wenn K ein Krümmungs- 

 kreis wird so lallt die Spitze des zugehörigen Kegels a uf die Etück- 

 kehrkante der cyklographischen Pluche, und die beiden durch die 

 Kegelspitze genenden Erzeugenden der Flâche liegen zugleich auf 

 dein Kegel; die Rückkehrkante schneidet also den Kegel in der 

 Spitze und in zwei Nachbarpunkten, aber diese Punkte zahlen für 

 4, weil die Kegelspitze als Doppelpunkt des Kegels doppelt ziihlt. 

 Und wenn K ein doppelt berührender Kreis ist so fiillt die Kegel- 

 spitze auf die Doppelcurve der Flache, absorbirt aber jetzt, wie 

 leicht zu sehen, uur zwei Schnittpunkte. 



Es sei zur Bestimmung von Punkt- und Tangentialindex der 

 hier betrachtcten Kreisreihe ausser dem Kreise K ein Punkt P ge- 

 geben. Der zu P gehörige Kegel schneidet die beiden zu K ge- 

 hörigen je in einem Kegelschnitt, dessen unendlich ferne Punkte 

 auf K* liegen und also zusamnien 2 (y — ex) Schnittpunkte mit der 

 Flâche absorbiren , sodass 2 r — 2 (v — o) = 2 (2 fx -\- v — 4 e — o) 

 übiigbleiben. Weil die beiden Kegelschnittc in Pezug auf B sym- 

 metrisch liegen, so hat man folgenden Satz: 



es gibt 2 {2 fi -j- v — 4 e — o) Kreise welche die Curve C und einen 

 beliebigen Kreis K berühren , und überdies durçh einen vorgeschriebenen 

 PunM gehen; die Mittelpunhte derselben liegen auf einem Kegelschnitt, 



