HET VIERDIMENSIONALE 1'RISMOIDE. 7 



Eerstens moeten natuurlijk de bekende formules 



L V(G), \ //. V(G), \ //. V(B -f \/WG -\-YBG*+ G) 



voor prisma (cylinder), pyramide (kegel i en afgeknotte pyramide 

 (afgeknotten kegel) in het voorgaande begrepen zijn. En nu is 

 het niet onmiddellijk duidelijk, hoe bijv. in het geval van het 

 prisma, waarbij V '(B) en V[M) aan I' (G) gelijk worden, uit den 

 vorm -\ li. V(~y G — 2 J/,„), waarin het tweede lid van 2) dan 

 overgaat, de uitkomst //. V (G) volgt. We hebben er ons hier 

 rekenschap van te geven, dat de zijlichamen tot driezijdige drie- 

 mensionale prisma's samengesmolten zijn, en moeten nu onderzoe- 

 ken, welk gedeelte daarvan tot V(M m ) behoort. Ontbinden we 

 daartoe (tig. 2) elk dier driezijdige prisma's (ABC, /)'/*/') op de 

 bekende wijze in drie viervlakken, waarvan het eene (./ B (\ l)\ 

 een bovcn-zijlichaam, het tweede (BC, IJ' F') een midden-zijlichaam 

 en het derde (B, D 'E 'F') een grond-zijlichaam is, dan blijkt 

 onmiddellijk , dat de doorsnee (BB', CD' , Cl', HF') van liet 

 midden-zij lichaam met de middelruimtc *) een parallelogram is, dat de 

 helft uitmaakt van de geheele doorsnee van het prismatische zij- 

 lichaam met deze middelruimte. Wijl dit voor alle prismatische 

 zijlichamen geldt, volgt hieruit V (M m ) = \ V (.)/). Substitu- 

 eeren we dit in \h. V(o G — 2 J/,„), dan vinden we naar be- 

 hooren //. V (G). 



Ten tweede komt in de vormen V{M h -\- M g ) en F(.)/ Ilt ) het 

 willekeurig in M aangekomen punt P voor en zou men dus 

 kunnen meencn, dat de waarde dier vormen met de plaats van 

 P in M verandert. Uit de uitdrukkingen 2) en 3) blijkt echter, 

 dat dit niet het geval kan zijn. Want de onderstelling, dat de 

 waarde V (M h -j- A/ () ) in 3) met de plaats van P in M verandert, 

 zou meebrengen, dat ook het hypervoluine van P afhing. We ko- 

 men dus tot het volgende besluit: 



„De som der inhouden l'(M„) van de pyramiden, die een wil- 

 lekeurig punt P gelegen binnen de middeldoorsnee van een pris- 

 moïde tot gemeenschappelijken top en de uit de midden-zijlichamen 

 voortkomende parallelogranunen van het begrenzend oppervlak dier 

 doorsnee tot grondvlakken hebben, is onafhankelijk van de plaats 

 van P binnen de doorsnee." 



Stellen we den staiidvastigen inhoud van deze pyramidensom door 

 V(S) voor, dan gaat 2) over in 



// = i h. l'{B-\-G -f S ..1/ — 4 ^ 4) 



In de figuur moet BF' met UU' vereenigd worden in plaats van mei CD'. 



