8 HET VIEEDIMENSIONALE PKISMOIDE. 



5. De stelling, dat de uitdrukking V{M m ) onafhankelijk is 

 van de plaats van het willekeurig binnen M aangenomen punt 

 P, is hier met behulp van vierdimensionale beschouwingen be- 

 wezen. Het is dus wenschelijk van deze stelling ook een bewijs 

 te geven, waarin van geen vierde afmeting sprake is. We denken 

 ons daartoe een veelvlak M, dat de eigenschappen heeft van een 

 middellichaam en dus begrensd wordt 1° door eenige zijvlakken 

 b, die door evenwijdige aaneenschuiving een lichaam B kunnen 

 insluiten (gelijkvormig en gelijkstandig met wat bij het prismoïde 

 liet bovenlichaam uitmaakt en op de halve lengte-afmeting) , 2° 

 door eenige zijvlakken g, die door deze zelfde bewerking dit een 

 tweede lichaam G kunnen doen, en 3° door eenige parallelogram - 

 men m. En nu bewijzen we, dat de som van de inhouden der 

 pyramiden met deze parallelogrammcn m tot grondvlakken en een 

 willekeurig punt P binnen M tot top, van de plaats van P bin- 

 nen M onafhankelijk is. 



We nemen drie onderling loodrechte coördinaatvlakken aan en 

 noemen de projectie van een zijvlak van een willekeurig lichaam 

 L op een coördinaatvlak positief of negatief, naarmate de naar 

 buiten gerichte loodlijn op dit zijvlak met de positieve as behoorende 

 bij het coördinaatvlak een scherpen of een stompen hoek maakt. 

 Dan is de som der projecties van de zijvlakken van L op ieder 

 der coördinaatvlakken nul. 



Wijl nu de zijvlakkengroep (ö) van M door evenwijdige aan- 

 eenschuiving het geheele oppervlak van een gesloten veelvlak B 

 vormen kan en het overeenkomstige van de zijvlakkengroep (y) 

 met betrekking tot G geldt, vinden we als l x , l !f , L de projecties 

 zijn van het gerichte zijvlak / op de drie coördinaatvlakken 



S (b„) = 0, S (y„) = 0, S 0„ + g u -f mj = 0, 

 (u = x, y, z). 



Hieruit volgt door aftrekking 



S O,,) = 0, (u = œ,y, z) 5), 



d. w. z. de som der projecties van de parallelogrammen {in) 

 op elk der coördinaatvlakken is nul. Daar nu onmiddellijk blijkt, 

 dat de som V(M m ), als P zich van het punt (x 1 ,y l , z x ) naar het 

 punt (x 2 , y 2 , z 2 ) verplaatst, met 



(*! - - # 2 ) 2 (m x ) -f (.//, - - lh ) I (m y ) + {z x — z 2 ) E 



m - 



