OVER DE MEEKWAAKÜIGE PUNTEN VAN DEN DRIEHOEK. 29 



Dus is 



f— G W—G 

 V — G~ f—G' 



welke vergelijking geldt voor beide punten. 



Hieruit ziet men dat de punten f gelegen zijn op de lijn die 



den hoek I' G II' midden door deelt, en wel ter weerszijde van 

 het punt (J op een afstand van dit punt die middenevenredig is 

 tusschen de afstanden van dit punt tot de punten V en W. 



Vergelijkt men de punten (()) niet de Ilessische V en W welkt; 

 bepaald worden door de vergelijking 



(c 2 — c p -f- p 2 ) z 2 — c p (a -\- p) z -\- c 2 p 2 = 



dan doet de formule (12) van § 1, ook zien dat de punten ƒ har- 

 monisch verwant zijn met de punten V en W. 



Hieruit volgt een nieuwe constructie voor de punten ƒ. Immers 

 uit de harmonische ligging volgt dat de punten f, V en W opeen 

 cirkel liggen. Het middelpunt van dezen cirkel ligt dus op de lijn 

 die in G loodrecht op de deellijn van hoek V G W wordt opge- 

 richt en tevens op de loodlijn die de koorden V W midden door 

 deelt. De punten ƒ w r orden ook de brandpunten van Steiner genoemd 

 (zie Casey Analyt. geom. of the point, line etc. sec. Ed. p. 455). 



Heeft men nu de punten ƒ, en ƒ, geconstrueerd dan is derhalve 

 het bij £ behoorende punt y het snijpunt van den omgeschreven 

 cirkel van den driehoek £/ 1 / 2 niet de lijn, die den pool van j\ f 2 

 ten opzichte van dezen cirkel met het punt £ verbindt. 



De vraag is nu uit het punt y dat bekend is, de punten P x en 

 P 2 a f te leiden. Daartoe maken we gebruik van de eigenschappen 

 dat deze beide punten harmonisch gelegen zijn met de punten V 

 en W en dat deze beide punten op eene rechte lijn liggen gaande 

 door y, terwijl zij evenver van y verwijderd zijn. 



Uit het voorgaande volgt terstond deze constructie : deel den hoek 

 Vy W middendoor, richt in y eene loodlijn op deze deellijn op 

 en construeer eene lijn die de lijn V ^loodrecht middendoor deelt; 

 beschrijf met het snijpunt dezer loodlijnen als middelpunt een cirkel 

 die door F en // r gaat, dan zullen de snijpunten van dezen cirkel 

 met de deellijn van den hoek l'y H' de gevraagde punten P x en 

 P 2 zijn. 



Neemt men £ op den omtrek van den cirkel die door f { f 2 V 

 en W gaat dan zullen de punten P x en P 2 op een vasten cirkel 

 liggen die door /'en W gaat, waarvan het middelpunt een der 

 snijpunten is van den eersten cirkel met de lijn die V IV loodrecht 

 middendoor deelt. 



