S DE MERKWAARDIGE PUNTEN VAN DEN INGESCHREVEN VEELHOEK. 



b. Het zwaartepunt is het gemeenschappelijk snijpunt van alle 

 rechten die de zwaartepunten van twee restfiguren verbinden. 



c. Deze rechten deelen elkander in deelen, die omgekeerd even- 

 redig zijn met het aantal hoekpunten van de figuren, uit wier 

 zwaartepunt zij getrokken zijn. 



d. De som van de vierkanten der afstanden van het zwaartepunt 



tot de hoekpunten bedraagt - van de som der vierkanten van de 



zijden en diagonalen. 



e. Duidt men de hoekpunten van den veelhoek aan door 

 A p (p = 1, 2, . n) en is P een willekeurig punt, dan heeft men: 



S (A p Pf = S (PI A p f -f n (P P,]) 2 



waarin P l n het zwaartepunt voorstelt. 



2. Om de eerste twee eigenschappen te bewijzen nemen wij de 

 tweede als waar aan voor alle veelhoeken van minder dan n zijden. 



In fig. 1 zijn A x en A 2 twee hoekpunten van een u-hoek, P l n _ 2 

 het zwaartepunt van de restfignur van A l A 2 . Trek A 1 P [ n _ { en 

 A 2 Pn-->- Dan liggen op deze rechten de zwaartepunten der rest- 

 figuren van A 2 en A v Om deze punten, die beide aangeduid zou- 

 den moeten worden door P\ _ t , van elkander te onderscheiden 

 plaatsen we een tweeden aanwijzer onderaan en duiden het zwaar- 

 tepunt van de restfiguur van A x aan door P\ n _^ en dat van de 

 restfiguur van A 2 door P^ H -[- 



Men heeft nu: (§111, \,b) 



pi 7Ji .pi A pi pi .pi a ï . („ i)\ 



J n-2 i 2.U-I- ■ r 2,n-l- /1 l ' -*• n-2- 1 l,n— 1' x l,n— 1-^*2 ± • V 1 A ) 



en dus P\ M _ { P^_ x Ij A { A 2 en P^_ A .J^i = ^ (1) 



n—i 



Nu zijn P\ _„_, en -P^-i twee hoekpunten van den veelhoek V\, 

 die de zwaartepunten der primaire (n — l)-hoeken tot hoekpunten 

 heeft. Uit (1) blijkt nu dat deze veelhoek homothetisch is met den 

 oorspronkelijken en dat de verhouding is — )T ^- r Hiermede is III, 

 1, a bewezen. 



Omdat de veelhoeken V n en V} x homothetisch zijn , snijden de 

 lijnen, die hun overeenkomstige hoekpunten verbinden, elkander in 

 één punt P\ , het zwaartepunt van den oorsponkelijken veelhoek. 



Tevens blijkt: 



A x P] : PI PL-t = A X A 2 : P1 M _, Pin-, = (*l)i 1, 

 waarmede (2, c) bewezen is voor een hoekpunt en zijne restfi- 

 guur. Trekt men de lijn P£_ 2 PJi door tot in P\, dan is P\ het 

 midden van A X A 2 , omdat A x P\ n -\Phi-\ A 2 een trapezium is. 

 Beschouwt men A 1 P\ P^„_i als transversaal in t\P }_ 2 P\ A 2 dan 



