DB MKI.'KU A AIMUiii: PI \ I K\ \ AN l'KN [NGESCHREVEN VEELHOEK. 9 



/ P' P 1 / / Jl / }| 



heeft men ,- = 1 



-"i «a ' i.ii-i ' ' ,, ' i 



l>\ pi 2 



en dus '! '.' ■•* = — ., waarmede (2, e) bewezen is voor een 

 /',' Pj »- « 



zijde of diagonaal en zijn restfiguur. Op dezelfde wijze kan men 

 verder gaan voor een driehoek en zijn restfiguur. Enz. 



Wij zullen thans de eigenschappen <l en e bewijzen, aannemende 

 dat zij doorgaan voor veelhoeken met minder dan n zijden. 



Volgens e heeft men voor A { ten opzichte van zijn rest-(#-l)- 

 hoek : 



./, A\ ./, l\ -\- A x Al -f- A 1 Ai = - 1 -, X (Ue som van de 



vierkanten der zijden en diagonalen van den rest-(#- I )-hoek vanAj) 



+ (n— 1) (A x PI,,,? 



Voor elk der hoekpunten kan men een overeenkomstige betrek- 

 king opschrijven. 



De som dier gelijkheden is dan een symmetrische functie van de 

 zijden en diagonalen en het is gemakkelijk in te zien dat men zal 

 verkrijgen: 



2 s*=: ;;:;aH(«-i)S(.U!.m)- 



Nu is A p *£.-«= -^ • A v Pi n _ { (* III, 2, 6) en dus 



2 * = *± # -K»--i) > £ T ?-z{A p pi n y 



waaruit, S (A p P* n f = * . S 2 



waarin S 2 de som van de vierkanten der zijden en diagonalen 

 voorstelt. 



Dit is de vierde van bovenstaande stellingen van het zwaartepunt. 



De vijfde kan als volgt bewezen worden. 



Zij P (tig. 1) een willekeurig punt. Past men op driehoek 

 PA 1 jP^n-i het theorema van Stewart toe, dan verkrijgt men: 



(M) 2 ' P« P\»-i + (fKn-u 2 , A x P\ = {PP)) 2 , A, I%_ i + 



A x P n . A x P Xll _ v P '„ " 1:l! _i (1) 



Aangezien volgens de 2° eigenschap van het zwaartepunt^ /',', : 

 /" / ; [ „ ., = (//-]) : I, kan men voor (1) ook schrijven: 



(/ J -A) 2 + {n— 1) (PP',,, ,) 2 = n {PP)) 2 + tl (4 P{, n _ t ) 2 (2) 

 Omdat wij de stelling als bewezen aannemen voor den (u-\)- 

 hoek, hebben we volgens stelling (4) van het zwaartepunt: 

 S (./„ P)2 = s (/>>„_, .7^)2 + M) ppi w _ | )2 (/ , = 2, 3, l, ») (2, a) 



Telt men deze gelijkheid op bij (2) dan komt er: 

 2 (A„ P) 2 + , ./, P)2 = « (Pi«)«+S=! (./, Pl,_<) 2 H-SI P{, n _^ p ) 2 (3) 

 Laat ons nn de som van de vierkanten der zijden en diagona- 



