LO DE MERKWAARDIGE PUNTEN VAN DEN INGESCHREVEN VEELHOEK. 



len van den rest-(ra — l)-hock van A 1 aanduiden door /Sf l _ l dan is 

 blijkens stelling 4 van liet zwaartepunt: 



terwijl uit het bewijs van stelling d opgemaakt kan worden : 



{n— 1) (A, P\^tf = A A l T 4 A + ^A --à#-. (5) 



Substitueert men (4) en (5) in (3), daarbij opmerkende dat 

 S (A p Pf -4- {A x Pf = E {A p Pf (als in de eerste term van het 

 I e üd p = 2, 3, 4 n en in het 2° lid p = 1, 2, 3 », wat blij- 

 kens (2, a) het geval is) dan komt er: 



S (A p Pf = « (PP;,) 2 + * (A, Al + 4 4 + 441) 



1 a -i I 1 a-2 



= n (PP] f -f » # 



= « M 2 4-2(nV (stelling^). 



§ IV. 



Wij gaan thans over tot het bewijs der in § II genoemde stel- 

 lingen. 



I en 2. A 1 A 2 (fig. 2) is eene zijde eens ingeschreven veelhoeks, 

 O het middelpunt van den omgeschreven cirkel. De punten P\ n _ i 

 en P^n-i hebben dezelfde beteekenis als in de voorgaande figuur. 

 Laten verder P^" n _ 1 en Pö' n _i de m e merkwaardige punten zijn 

 van de restfiguren van A 1 en A 2 . 



Blijkens onze definitie (§ I, 2, h.) hebben wij dan, door in plaats 

 van n te schrijven (n — 1 ) en voor m' te nemen 1 : 

 OP'- n _ v : 0PÏ, B _, = OP?, n _s 6>P-l H -i= (n--l):(n — m). 



Hieruit volgt, dat P^ n _, P'? n -i // P\ n -i P\,n-i // 4 4 en 



verder dat P£ n _ 4 P% n _ i = ?Ll --^,^^1.-1=^ (Zie 



ra — /// » — ?ra 



§ III, 1, a) 



Hieruit volgt, in verband met stelling 1, a in § III, onmiddellijk 

 de waarheid der stellingen 1 en 2 in § II. 



3. Wij bewijzen thans stelling III. 



Uit stelling I is het bestaan gebleken van de veelhoeken V™- 

 Tot deze veelhoeken behoort ook de veelhoek V\ gevormd dooi- 

 de zwaartepunten van de primaire (ra — l)-hoeken des ra-hoeks, liet 

 gelijkvormigheidspunt van V n en V\ t is, blijkens § III, 1,6., het 

 punt P\. Omdat de veelhoeken V\, V\ V è n enz. alle tegengesteld 

 lioniotlietisch zijn met V n zijn ze onderling rechtstieeksch homo- 



