DE MERKWAARDIGE PUNTEN VAX DEN INGESCHREVEN VEELHOEK I I 



thetisch en hebben zij têt middelpunt O des omgeschreven cirkels 

 tot gelijkvormigheidspunt. Hieruit volgt dat de gelijkvormigheids- 

 punten van /',',, l'; : , /';', enz. met V. n alle met op ecu rechte 

 moeten liggen, die dan ook het punt P\ bevat. 



Hiermede is aangetoond, dal het gelijkvormigheidspunt van /'",', 

 en V n inderdaad op de rechte van Euler ligt. Wij hebben nu nog 

 aan te toonen, dat het juist het punt P™ is. Dit bewijzen wij als 



volgt : 



Zij A, (fig. 3) een hoekpunt eens ingeschreven veelhoeks, P"l 

 en P",'' de gelijkvorraigheidspunten van V\ en V"^ met V n . Dan 



zullen wij moeten aantoonen, dat wij inderdaad gerechtigd zijn deze 

 aan te duiden niet P'l',_\ en P™'_ if en dit zal het geval zijn als: 



P"l_ n — ///' -f- 1 



o j } :: = n — m -+- 1 ' 



Nu heeft men, als in Hg. <"i P™-i en / J "/_, respectievelijk het 

 m e en m' e merkwaardige punt zijn van den rest-(« — 1 )hoek van A x , 



I P '" I /"" 



„ ' ,:- = — (»-- m) en „ ' ," -, = — (n — «0 (§11, 1 en 2) 



r n — \ -*- » ■*■ n — 1 ■* n 



waaruit volgt: 



Dm J Dm' ,ƒ 



4-^^ , 4 J - = * — » -f-1 en ,f "-'f 1 . = rç -- m -f 1 . (1) 



/J "' /J "i I /J m n m ■ v ' 



1 n - \ J ,i ' ,i - \ r n 



Beschouw nu O P"l_ , P"'_ , als transversaal in A ./j P% P™ 



dan is: 



/) /.>«< />/«' /J«<' pm I 



JL. \/ _ " ~ 1 n \/ w ~ * 1 I 1 



/) nui y\ pm' a /\ /j/" pm 



^ ' .i r n -1 -"1 7 n - I * n 



waaruil in verband met (l) volgt: 



OJ J ;; n — m'-}- 1 

 01' = n — m -f I" 



Omdat voor w* == 1 het punt P™ het zwaartepunt des veelhoeks 

 wordt en dit inderdaad het gelijkvormigheidspunt is van /", en 

 /',',, moet ook P"l] het gelijkvormigheidspunt zijn van /'„ en/""/, . 



4. Wij zullen thans overgaan tot het bewijzen van de Hoofd- 

 stelling (§11, 1) en beginnen met het geval dat een der getallen 

 p of y gelijk aan één is. "Wij hebben dan (voor /; = 1), te bewij- 

 zen, dat de rechte P\ Pi door het punt P% gaat. 



In Hg. I zijn P\ P\ en P), Pi de rechten van Euler van 

 den in stelling I genoemden a-hoek en ô-hoek. Deelen wij P), P\ 

 in reden als b : a, dan is het dcelpunt het punt /',', (§ III). O P„ 

 is dan wn gedeelte van de lijn van Euler van /'„ en wij moeten 



