4 OVER EEN MINIMAALOPPERVLAK 



coördinatenassen zijn de assen van het parallelopipedum genomen; 

 de coördinatenvlakken zijn dan de symmetrie vlakken van O. Daar 

 zij het oppervlak loodrecht snijden, zijn de krommen van doorsnede 

 C L I), E N F, LN kromtelijnen. Men merkt op, dat in de punten 

 C, B, E en F deze kromtelijnen de rechtlijnige begrenzing van Q. 

 loodrecht ontmoeten. Deze punten zijn dus uitzonderingspunten op 

 het oppervlak. Door elk van hen gaan niet twee, maar drie asymp- 

 totische lijnen, die met elkander hoeken van 00° zullen maken. 



1. Be analytische voorstelling van liet oppervlak Q.. Door eene 

 enkele vergelijking is het oppervlak niet voor te stellen ; men moet 

 trachten de drie rechthoekige coördinaten x, g, z in twee onderling 

 onafhankelijke parameters uit te drukken. De methode, die met dit 

 doel gevolgd kan worden, is die der conforme afbeelding, afkom- 

 stig van Rikmann, Weierstrass en Schwarz, en onder anderen 

 door Darboux ! ) uitvoerig uiteengezet. 



Volgens de algemeene formules van Weierstrass zijn de uit- 

 drukkingen voor de drie coördinaten altijd te brengen in den vorm 2 ) 



+ px = & f\\ — .v 2 ) F{s) ds, ± pij = 31 fi (1 -f s 2 ) F (s) ds, 

 ± fi Z = a ƒ 2s F (s) ds, (1) 



waarin s eene complexe veranderlijke, jj. een positieve proportiona- 

 liteitsfactor beteekent, en het teeken cK op de gebruikelijke wijze 

 aanduidt, dat alleen het bestaanbare deel der integralen is bedoeld. 

 De vraag is de nog onbekende functie F(s) te bepalen, hetgeen 

 geschieden kan door de onderlinge vergelijking van eenige conforme 

 afbeeldingen van het oppervlak £2. De eerste afbeelding wordt ver- 

 kregen door de complexe s uit te breiden op den eenhei dsbol. 

 Volgens bekende theorieën is dat zoo in te richten, dat in over- 

 eenkomstige punten op H en op den bol de raakvlakken evenwij- 

 dig zijn. Derhalve zullen noodzakelijk zoowel de vlakke kromtelij- 

 nen CLB, EN F, LN als de rechte lijnen, AC, AF, BB, BE 

 als groote cirkels worden afgebeeld. Ken boltweehoek (tig. 2) ont- 

 staat; de punten A en B komen in de uiteinden van de verticale 

 middellijn, L en N zijn de middens der bogen AB, hg CL = bgLD, 

 bg NE = bg NF, de standhoek van den boltweehoek is recht. In 

 alle punten is de teekening getrouw, in de uitzonderingspunten C, 

 B, E en F 1 echter worden de rechte hoeken van den rand van 12 



') Le problème de Plateau; Th. g. d. surf., I, blz. 424. 



2 ) Men vergelijke: Schwarz en Darhoux, t. a. p., of Weierstrass, Ueber die Flàchcn 

 deren mittlere Krümmung überall gleieh Null ist, Monatsber. der Berl. Ak. 1866, 

 blz. 616. De oorspronkelijke vorm, dien Weierstrass aan deze vergelijkingen gaf, wijkt 

 eenigszins af van de gedaante, waarin zij hier voorkomen. 



