24 OVER EEN MINIM AALOPPERVLA.K 



Schwarz verwezen worden, waar deze eigenschappen worden be- 

 wezen. Een gedeeltelijk resultaat echter is gemakkelijker te ver- 

 krijgen, daarom zal hier op het voetspoor van Schwarz *) nog 

 worden aangetoond, dat de oppervlakken O u in geen geval tot de 

 eigenlijke minimaaloppervlakken kunnen worden gerekend. Gebruik 

 kan hier gemaakt worden van eene min of meer meetkundige rede- 

 neering, door Moigno 2 ) en Lindelof aangewend om de beide 

 catenoïden van het overeenkomstige cirkelvraagstuk te onderscheiden. 



Men denke zich in fig. 1 alle oppervlakken O aangebracht, die 

 voor b = 1 bij dezelfde waarde van /, maar verschillende waarden 

 van h belmoren. Al die oppervlakken geve men hetzelfde middel- 

 punt M en dezelfde symmetrie-assen MX, MY, MZ. Ten aanzien 

 van de oppervlakken O u besluit men onmiddellijk, dat twee wil- 

 lekeurige oppervlakken dezer groep elkaar snijden. Immers, zooals 

 tevoren werd aangetoond, nemen de halve assen p l en p 2 der mid- 

 dendoorsnede af, als q< toeneemt. Het oppervlak O n met de kleinste 

 hoogte, heeft dus ook de kleinste halve assen p lf p 2 , daarom snijdt 

 dit oppervlak elk ander oppervlak van dezelfde groep. Van de op- 

 pervlakken Oj kan niet hetzelfde worden beweerd, daar met eene 

 grootere waarde van de hoogte kleinere assen in de middendoor- 

 snede gepaard gaan. 



Alle oppervlakken O,, hebben dus een omhullend oppervlak cp , 

 dat, daar p l en p 2 tot in het oneindige afnemen, in den oorsprong 

 M een kegelpunt bezit, en verder uit twee trechtervormige stuk- 

 ken bestaat, die eindigen in de beide rechthoekige begrenzingen 

 van het oppervlak Q , op afstand II. Elk oppervlak n raakt de 

 omhullende <p volgens eene kromme T , waarvan het voor de 

 hand ligt om aan te nemen, dat zij uit twee ten opzichte van het 

 X Y-vlak symmetrische stukken bestaat, die elk voor zich om de 

 Z-as gaan, en in zich zelf terugkeeren. 



In fig. 10 is gepoogd een en ander op te helderen, door eene 

 schematische voorstelling te geven van de figuur, die het grens- 

 oppervlak O o , de oppervlakken O u en de omhullende m het 

 XZ-\\nk afteekenen . 



Wij beschouwen nu in fig. 10 twee opvolgende oppervlakken 

 O n en (),[', het laatste met de kleinste hoogte; zij raken <p Q vol- 

 gens de krommen T en T'. Laatstgenoemde krommen begrenzen elk op 

 4) de stukken $ en 4)', het verschil d$ dezer stukken bestaat 

 uit twee ringvormige zonen, eveneens door de krommen F en T' 



') Ges. AV., I, blz. 313. 



2 ) Calcul des Variations, blz. 213. 



