\ \\ TWEEVOUDIGEN SAMKNHANG. 29 



groote cirkel l)F uit fig. 2 wordt in fig. I 1 afgebeeld door den 



tri 



cirkel DQF met straal 1 en het middelpunt * = e 4 . Het 



komt er nu op aan te laten zien, dat deze cirkel de afbeelding is 



van eene asymptotische lijn. Indien wij s bepaaldelijk op den 

 cirkel l)Q F aannemen, is 



Deze betrekking tusschen s en <v o is echter een der :2 1 octaeder- 

 substituties, l ) zoodat men heeft 



\/s^ i i.v' j i v^v s 14J7HF1 



(s — »-t) (,_ /t) 



:r i . r f 



Door de substitutie s = e x , s Q = e 4 bevestigt men ^makke- 

 lijk de juistheid dezer vergelijking. 



ds r/.s' 



Tevens is 



s — e 4 s Q — e 4 



zoodal 



ds 



\7*' 8 - - 14* 4 -f 1 \/* « - - 14s 4 + 1 



3 .Ti 



of \/ /•',,. û& = e 2 s/f (8 ) ds. 



Voldaan is derhalve aan de differentiaalvergelijking (1er asympto- 

 tische lijnen '-'), de groote cirkel DF in fig. 2 is inderdaad de 

 spherische afbeelding van eene asymptotische lijn, wier osculatie- 

 vlakken, raakvlakken aan iï, nu alle loodrecht staan op het vlak 

 van den grooten cirkel 1)F uit tig. 2. Dit vereischt bepaaldelijk, 

 dat die asymptotische lijn recht is, waardoor dus voor het geval 

 a. = /3 = 2 de aanwezigheid van acht nieuwe rechte lijnen is be- 

 wezen :i ï Wanneer deze lijnen op het oppervlak O worden getrokken, 

 is dit verdeeld in twaalf congruente dubbel svnunetrischc scheeve 

 vierhoeken met twee rechte hoeken en twee hoeken van 00°. Ook 

 dit oppervlak is door SCHWARZ 4 ) in eene zijner eerste verhandelingen 

 over de minimaaloppervlakken uitvoerig onderzocht. Alen behoeft 

 nu in tig. 11 nog slechts de cirkels DE, CF en de rechte lijn 



') Klein, Ekosaeder, blz. 43, formule (316 . 



■< Darboüx, Th. g. (1. Surf., I, blz. 303. 



Dat alleen in liet geval <: — ft ~ 2 on in geen ander dergelijke nieuwe rechte 

 lijnen op liet oppervlak kunnen voorkomen, volgt wel uit de bekende stelling van 

 Schwarz, volgens welke elke rechte lijn op het oppervlak eene as van symmetrie wordt. 



*) Bestimmnng einer speciellen Minimalflâche; Ges. W. 1., blz. 90. 



