30 OVER EEN MINLMAALOPPEEVLAK 



BQA als afbeelding van gelijknamige kromtelijnen in fig. 1 te 

 trekken, om onmiddellijk het vierde gedeelte van de bekende 

 octaederfiguur, namelijk de aaneensluiting van 48 cirkeldrielioeken 

 met hoeken van 45°, 90° en 60° te herkennen. 



Eindelijk is het nog mogelijk om te laten zien, dat uit de ver- 

 gelijkingen (25) en (26) voor a = /3 = 2 werkelijk volgt h = —t-^ h. 



Men heeft hier k = \, k' = -| \/2 , J>\ = |- \/3, 



dus ook k = ^ — j — j-ï > 



1 -f- k x 



tusschen K en K^ bestaat derhalve de betrekking van Landen 

 K 1 = {l-\-k)K=^K, 



zoodat de algemeene vergelijking 



b h 



werkelijk geeft h = —r% b- 



K x ~~ k' K 



9 



Omdat y = 19°28' < 28°2'13" is, behoort het oppervlak tot 

 de groep O t en is het dus door een e proef van Plateau te verwe- 

 zenlijken. Door de zeer bijzondere betrekking tusschen K en K^ 

 was het hier mogelijk om ten slotte de drie coördinaten x, y\ z 

 in ^-functies van dezelfde perioden uit te drukken. 



Zulke gevallen zijn nog in willekeurig aantal te vinden, het is 

 echter moeielijk om na te gaan, of dit steeds van grooten invloed 

 is op de algemeene gedaante van het oppervlak. 



11. Ontaarding en van hei oppervlak. Eenige wijziging onder- 

 gaan de voorafgaande beschouwingen, als de lengte-afmeting der 

 beide rechthoeken meer en meer toeneemt. 



Door die lengte / te laten aangroeien, kan men uit O twee 

 nieuwe en van elkander verschillende oppervlakken afleiden. Ten 

 eerste kan men aannemen, dat in fig. 1 de punten E, N en F 

 zich in de richting der Z-as in het oneindige verwijderen; van 

 eiken rechthoek blijven dan drie zijden over, en het middelpunt 

 M van het oppervlak verdwijnt uit de figuur. In de tweede onder- 

 stelling blij tt het middelpunt M behouden, de zijden AC en BD 

 verdwijnen in de richting van de K-as evenals de tegenoverliggende , 

 zoodat van eiken rechthoek nu slechts twee zijden behouden blij- 

 ven. De tot hiertoe gebruikte elliptische functies ontaarden gedeel- 

 telijk, men zal thans met eene enkele ^-functie kunnen volstaan. 

 Vandaar, dat het nu geschikter is het elliptisch argument op eenigs- 

 zins andere wijze in te voeren. 



