3S OVER EEN MINIMA.ALOPPERVLA.K 



_ e%ix = CtM^ (> _ 2y = SÂ u m z = T _j_ . {u _ ^ } _ 1} 



Eliminatie van u en u o geeft 



(/ _ _ cosx 

 cos z ' 



het tweede oppervlak van Scherk 2 ), waarvan het gedeelte, dat nu 

 tig. 17 vervangt, in tig. 18 is voorgesteld. Breedte en hoogte zijn 

 elk gelijk aan 2 tt, het onderscheid tusschen die afmetingen is ge- 

 heel verdwenen. Op het oppervlak zijn twee nieuwe rechte lijnen 

 gekomen; zij liggen in het raakvlak in L, en snijden AF en BB 

 loodrecht. 



Maar de tig. 17 kan ook nog anders vervormd worden. Laat /3 

 oneindig worden, en laat dus e 2 tot e 3 naderen. Daardoor verdwijnt 

 in het oneindige al wat van de rechthoeken nog in fig. 17 aan- 

 wezig was. De nieuwe vergelijkingen van het oppervlak worden 



+ p w = ${yfe-\- 2, ± ny = <&i^% — 2, 



en dit stelt blijkbaar eene catenoïde voor met de vergelijking 



x 2 _j_ y 2 = (< J ^ e -l)2. 



14. Be toegevoegde oppervlakken van Bonnet. Het is bekend, dat 

 men uit elk minimaaloppervlak door buiging eene geheele groep 

 van niinimaaloppervlakken kan afleiden, die men de „geassocieerde" 

 oppervlakken noemt. In die groep is door Bonnet 3 ) er een aange- 

 wezen , het zoogenaamde toegevoegde oppervlak, dat op zeer merk- 

 waardige Avijze met het oorspronkelijke oppervlak samenhangt. 



Namelijk zijn voor beide oppervlakken in toegevoegde punten de 

 raakvlakken evenwijdig, terwijl twee overeenkomstige raaklijnen 

 rechte hoeken met elkaar maken. 



Uit de vergelijkingen (5), (8), (11) 



ar 9 y = « 2 — ${w 2 , 

 jxr z = uiw — co, 



die gelden voor het oppervlak il uit fig. 1 , leidt men onmiddellijk , 

 door den factor i achter het teeken Bi te plaatsen, de vergelijkingen 



') Met Sh en Clli zijn de hyperbolische functies bedoeld. 



l ) t. a. p. blz. 196. 



') Note sur la théorie générale des surfaces, Comptes rendus de l'Ac. d. Sc., XXXVII, 



blz. 529. 



