SEINE SELBSTDECK ENDEN BEWEGUNGEN. 



2. Tafel III. 



Die Projectionsebenen ^) enthalten, je nach dem Schema 

 1) Qo Qi Q'i Qi Qo J) Ö2 ^1 ^3 ^1 ^^2' ^^'^'^^^ Haiiptdiagonalen, vier 

 erste, vier zweite, und zwei dritte Querlinieii, zu normalen Paaren 

 angeovdnct. Sie schneiden acht Seitenflaclien nnd vier Seitente- 

 traeder. 



Die Ebene igOX^, zum Beispiel, gcht dnrch die Ecke 1, duvch 

 den jMittelpnnkt der Seitenfiiiche 1412, durch die Mitte der 

 Kante 4 12, durch den Mittelpunkt des Tetraeders 4 12 23 25, 

 u. s. w. 



Tndem also jede Ebene, zu welcher eine Projection wie die vor- 

 liegende gehort, zugleich 8 Seitenflilclien normal in zwei symnie- 

 trisclie Telle zerlegt, oder vier Tetraeder normal in einer ersten 

 Querlinic tlesselben schneidet, ergibt sich fur die Anzahl soldier 

 Ebenen ^^^- X 3 oder ^ X 3 = 450. Diese Ebenen sind zu 

 225 normalen Paaren angeordnet. 



VVenn man das System diesei" Projectionen mit den (piadratischen 

 Pi'ojectionen des Z'-^ (Tafel II) vergleicht, so sieht man unmittel- 

 bar, dass die ^™-Ecken + (1 50 4 G 51 15 17 21 33 18 22 20 

 30) eine i^-'-Punktgruppe bilden. Indem es nun 9 Ebenenpaare 

 gibt, auf welche das Z'^ sich so projicirt, so ergibt sich fur die 

 Anzahl soldier Punktgruppen ini ^''"": ~ ^^^ 25. Selbstredend gibt 

 es daim 75 Z'^- und ^"^-Puiiktgru])pen (vgl. Tafel 1). 



Die Projectionen der Eckeii sind in neun Kreisen quadratisch 

 angeordnet, der nte Kreis, von aussen ab gezahlt, irgend cuner 

 Projection, entspricht dem nten von innen ab gezahlten der zu 

 dieser noriualen Projection. Die Projectionen der Ikosaeder, in deren 

 Ecken die von den Zellecken ausgehenden Kanten enden, zeigen 

 sich dalier in neun verschiedenen Eornien. 



Die Ecken, deren Projectionen auf eine Ebene zu zweien zusam- 

 menfallen, haben ihre Projectionen auf der normalen Ebene in 

 bezüglich dem Mittelpunkt gegeniibereinanderliegenden Punkten. 

 Die Ecken, deren Projectionen auf eine Ebene zu vieren zusammen- 

 fallen, haben ihre Projectionen atif die normale Ebene in den 

 Ecken eines Quadrats. 



Eiue Substitution der Ecken, die einer Drehung Yg irgend eiuer 

 der vier Projectionen entspricht, lasst entweder die normale Pro- 



Hier wic in der Folge wird der Coordinatenurspruiig im Zellmittelpunkt gedaclit. 



