10 DAS REGELMÀSSIGE SECHSHUNÜERTZELL UND 



jectioii imgeandert, oder sic bringt auch in letzterer die Dreliung 

 Y2 lierv(H'. Hieraus folgt dass die einfaclie Dreliung ^j,, nnd die 

 Dop])eldreliung Y^ V2 ^^^ ^^^' Bewegungsgnippe des J^""" geboren. 



Eine Substitution der Ecken, welcbe einer Drehung Y^ irgend 

 einer Projection ents])riclit, kann uur daiui eine Operation der 

 ^""" Gruppe sein, wenn sie aucb eine Drebung Y4 in der normalen 

 Projection erzeugt : 



Erteüen wir z. B. der Projection auf A'.j (JX,^ die Drebung (Y4)34- 

 Dieser Dreliung cntsprecben sebr viele Substitionen der Ecken; 

 aber uur zwei derselben sind selbstdeckenden Pewegungen aequi- 

 valent, niindicb: (1 56 -1 -50) (51 46 -51 -46) (2 00 -2 -GO)... 

 und (1 50 -1 -56) (51 -46 -51 40) (2-57-2 57). . . Die erste 

 entspricbt der Doppeldrebung (Y4)34 (Y4)2i' ^^^ zweite der üoppel- 

 drebung (Y4)34 (Y4)i2- 



Zu jedeni der 225 Ebenenpaare geboren also die folgenden 

 Operationen der Z''^ Gruppe : 



2 einfacbe Drebungen Y2 



4 Doppcldrebungen Y4 V4 

 1 Doppeldrebung Y9 Y2 



1 identiscbe Operation. 



Zu der Aufzablung der samtlicben zu diesen Ebenenpaaren ge- 

 börigen Operationen ist zu bemerken, dass die Doppeldrebungen 

 Y4 V4 ^^^^^ V'> ^.4 sülcbe sind, zu welcben eine uuendlicbc Anzabl von 

 ïras^ern o-diört. Es erbel)t sicli also die Erao-e, ob diese wobl alle 

 von einander verscbieden seicn, und, wenn nicbt, wie viele der 

 225 Ebenenpaare zugleicb als Trager einer einzigen Doppeldre- 

 bung auftreten? Nun leucbtet ein, dass eine Substitution der Ecken, 

 welcbe einer Dro])peldrebung Y4 Y4 «equivalent ist, aus 30 Cykeln, 

 je von vier Elementen, bestebt. Jeder Cykel entspricbt einer Dre- 

 bung Y4 einer der 450 Ebenen in sicb selbst ; es bewegen sicb also 

 jedesmal ] 5 Paare in sicbselbst, und es gibt, also uur -^|- )><^ 4 =^ 00 

 unter einander verschiedene Doppeldrebungen Y4 Y4- 



Die Doppeldrebung Y9 Y2 ^'ertauscht je zwei diametral-gegenüber- 

 liegende Ecken ; es ist also ganz gleicligiUtig, welcbes Ebenenpaar 

 man als Trager betracbtet. Diese Ojjeration konunt, wie die iden- 

 tiscbe, uur ein mal in der Gi'uppe vor. 



Die zu den samtliclien 225 Ebenenpaaren gebörigen Operationen 

 der Z''°" Gruppe sind also: 



