14 DAS EEGELMÀSSIGE SECHSHÜNDERTZELL UND 



Pi'ojectionen geben mviss, zeigt sioli sclion daraus, class die durch 

 jeiie hestimmten Operationen die Gviippe, welclie offenbar von der 

 Ordnmig 7200 ist, noch nicht erschöpfen. 



Die Amvendung der folgeiideu 8atze, deren Beweis icli unter- 

 drüclce, wird uns die Construction der übrigen regelmassigen Pro- 

 jectionen ermöglichen. 



I. Es gibt zwei Système, je von oo^ Ebenen, deren beide Win- 

 kel, welche sie mit jeder einzelnen der Ebenen eines normalen 

 Paar es a. bilden, gleich sind. 



II. Eine gleichschenkliche Doppeldrehung um a lierum erzeugt 

 in allen Ebenen eines dieser Système eine Bewegnng in sich selbst. 

 Wenn man den Drehvmgssin einer der Componenten umkehrt, so 

 bewegen sich die Ebenen des andern Systems in sich selbst. 



III. Wenn die Ebenen eines normalen Paares a mit den Ebenen 

 eines normalen Paai'es j3 ungleiche Winkel bilden, so gibt es zwei 

 normale Ebenenpaare y und J, deren Ebenen mit denen der erst- 

 genannten Paare zwei yleicUe Winkel bilden. 



Es seien ci^ u.,, jSj j3^, y^ y.,_, h^ ê., die Ebenen der Paare a. (i y à. 

 Der Doppelwinkel (a, ^,) sei q>, 4^ ; so ist : 



IV. Wenn zu den obigen Ebenenpaaren a, und (2 die beiden 

 (rechts- und links-) gleichschenkligen Doppeldrehuugen der Periode 

 p, bzw. der Periode q geboren, so ist jedes der Paare y und J Tra- 

 ger einer ungleiclisclienldige Doppeldrehung, deren Periode das 

 kleinste Multipluni von p und q ist. 



Aus diesen Satzen folgt unmittelbar, dass es noch regelmassige 

 12-, 20- und 30- seitige Projectionen geben mnss; und zwar: 



2 X 15 X 10 normale Paare 12-seitiger, 



2 X 15 X 6 „ „ 20 „ 



2 X 10 X 6 „ „ 30 „ 



