SEINE SELBSTDECKENDEN BEWEGUNGEN. 15 



Demi bezüglich der Uoppeldrehungeii V^ y^ sind von den 225 

 Ebeiienpaareii, zii welchcn sie gehören, nur 15 als uiitereinander 

 nicht idcntisch zu reclmen; ebenso rediicirt sicli die Anzahl der 

 regelmassig-sechsseitigen Projectionen bezüglich der Doppeldrehungen 

 Yg Yp^ aiif 10, nnd die regelmassig-zehnseitigen bezüglich der Dop- 

 peldrehungen Yio Vio ^^^^ ^'• 



6. Nach diesen Prinzipien habe ich die Tafeln VI, VII und VIII 

 so construirt, dass alle von diesen abzulesenden (jleiclisclienliichen 

 Doppeldrehungen gerade diejenigen sind, welche die Tafeln III, IV 

 und V schon zeigten. 



Der Com})licirtheit der neucn Projectionen wegen, sind in diesen 

 Tafeln nur die Ecken des ^''"" angegeben worden ; von den Kan- 

 ten sind nur solche gezeichnet, welche nötig waren zur Angabe der 

 verschiedenen Projectionsformen der Ikosaeder, auf welche die in 

 einer Ecke zusaninienstossenden Seitentetraeder sich stützen. Die 

 Tafeln VT' VIP' und VIH" zeigen die neuen Projectionen in pleno. 



7. Tafcl VI. 



Die Ecken der 12-seitigcn Projectionen sind in sieben Kreisen 

 angeordnet. Der Mittlere luid die zweiten Punktkreise, von innen 

 wie von aussen her gerechnet, sind doppelt. Die 48 Ecken welche 

 sich auf diesen zweiten Puidvtkreis projiciren, bilden zwei ^'*- 

 Punktgruppen. (Man vergleiche die r-12-seitigen ^-^-Projectionen 

 der Tafel II). Indem nun die Z^^^ Ecken 25 soldier Punktgrup- 

 pen enthalten, und ein Z-'' sich auf 24 normale Ebenenpaare regel- 

 massig-12-seitig projicirt ''), so folgt auch hieraus, dass es Ji^2L ^=. 300 

 normale Ebenenpaare gibt, zu welchen regeliiiassig-12-seitige .2^'°'^- 

 Projectionen gehören. 



Diese 300 Ebenenpaare bestimmen ausser den schon früher auf- 

 geziihltcn gleichschenklichen Doppeldrehungen der Perioden 2, 3, 4 

 und Ü : 



300 X 4 = 1200 Doppeldrehungen Y12 7i2- 



8. Tafel VII. 



Die 180 Paare r-20-seitiger Projectionen bestimmen ausser den 

 schon aufgeziihlteii gleichschenklichen Doppeldrehungen der Perioden 

 2, 4, 5 und 10: 



'J S. des Verfassers. Dissertation. 



