nombre j-^ ^rr-p àe coniques qui touchent 3 n — 1 espaces 



4 LES HYPERQUADRIQUES DANS L'ESPACE 



que dans le dernier le nombre indéfini u des dimensions de l'espace 

 A^„ qui porte les figures étudiées, et le nombre indéfini j?; des dimen- 

 sions de ces figures entrent dans les résultats. On saisira la por- 

 tée considérable de ce progiès par l'exemple suivant donné par 

 Schubp:rt lui-même. On sait que dans un plan donné {?i = 2) il y 

 a une conique qui touche cinq droites données, que dans un espace 

 tridimensional donné {ti = 3) il y a quatre coniques qui touchent 

 huit plans donnés, (jue dans un espace (puidridimensional donné 

 (n = 4) il y a vingt coniques qui touchent onze espaces donnés et 

 que le terme suivant de cette série de coniques est cent douze. 

 Mais la loi générale, d'après laquelle un /i',, donné contient un 

 2 »-^ (2 n—-S )\ 

 n\ in — 2)! 



^,i_i donnés en cet J'J,, , ne peut pas encore être devinée même, 

 si l'on ne sait que les nombres 1, 4, 20, 112 de coniques cor- 

 respondant aux valeurs successives 2, 3, 4, 5 de n. Et en ce cas 

 il n'y a qu'une inconnue w en jeu, tandis que les formules de 

 Schubert en contiennent deux, n et p. 



Quoique la géométrie énuméi'ative des êtres du second ordre 

 en B„ est donc depuis six années une théorie tant soit peu ache- 

 vée, nous nous proposons de déduire dans les pages suivantes d'une 

 manière directe les nondn-es en rapport avec les hyperquadriques à 

 eux seuls. Si l'on désire se borner au cas n = 4, cette déduction 

 a bien des avantages sur celle basée sur les considérations beau- 

 coup plus difficiles du cas général d'un n quelconque. Notam- 

 ment elle est plus simple pour deux raisons. Seulement une de 

 ces raisons est manifeste dans l'exemple cité : la peine de la déduc- 

 tion du nondire 20 des conicpies en M^ disparait en comparaison 

 de celle qui mène à la formule généiale du nombre de coniques 

 correspondant à un n (pielconque. Mais dans le cas des formules 

 de M. Schubert nue seconde raison s'y joint: la peine de l'éva- 

 luation .du nombre correspondant à des valeurs données de )i et p 

 après la substitution de ce.s valeurs dans les formules. Eii vérité, 

 ces formules donnent les nombres en question en forme d'une 

 somme d'un grand nombre de produits, ce qui emporte deux désa- 

 vantages quand il s'agit d'un cas particulier ;/ = 4. D'abord la 

 réduction de la somme au nombre cherché est un travail assez 

 ennuyeux ; mais ce qui est plus grave, c'est qu'on obtient les nom- 

 bres cherchés sans indice d'une relation mutuelle, ce qui implique 

 que chacun de ces nombres exige une évaluation. Au contraire, 

 en suivant en A4 le chemin correspondant à celui que M. Schu- 

 bert a frayé en JjJ.^ dans son œuvre de ib/ü, on obtient les nom 



